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|z|^2+2z
Trazado el gráfico de la función/ |z|^2+2z

Gráfico de la función y = |z|^2+2z

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2      
f(z) = |z|  + 2*z
f(z)=2z+∣z∣2f{\left(z \right)} = 2 z + \left|{z}\right|^{2} 
f = 2*z + |z|^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010200-100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Z con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2z+∣z∣2=02 z + \left|{z}\right|^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Z:

Solución analítica
z1=−2z_{1} = -2
z2=0z_{2} = 0
Solución numérica
z1=−2z_{1} = -2
z2=0z_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando z es igual a 0:
sustituimos z = 0 en |z|^2 + 2*z.
∣0∣2+0⋅2\left|{0}\right|^{2} + 0 \cdot 2
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddzf(z)=0\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddzf(z)=\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} =
primera derivada
2∣z∣sign⁡(z)+2=02 \left|{z}\right| \operatorname{sign}{\left(z \right)} + 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dz2f(z)=0\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dz2f(z)=\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} =
segunda derivada
2(2∣z∣δ(z)+sign⁡2(z))=02 \left(2 \left|{z}\right| \delta\left(z\right) + \operatorname{sign}^{2}{\left(z \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con z->+oo y z->-oo
lim⁡z→−∞(2z+∣z∣2)=∞\lim_{z \to -\infty}\left(2 z + \left|{z}\right|^{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡z→∞(2z+∣z∣2)=∞\lim_{z \to \infty}\left(2 z + \left|{z}\right|^{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |z|^2 + 2*z, dividida por z con z->+oo y z ->-oo
lim⁡z→−∞(2z+∣z∣2z)=−∞\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{2 z + \left|{z}\right|^{2}}{z}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡z→∞(2z+∣z∣2z)=∞\lim_{z \to \infty}\left(\frac{2 z + \left|{z}\right|^{2}}{z}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-z) и f = -f(-z).
Pues, comprobamos:
2z+∣z∣2=−2z+∣z∣22 z + \left|{z}\right|^{2} = - 2 z + \left|{z}\right|^{2}
- No
2z+∣z∣2=2z−∣z∣22 z + \left|{z}\right|^{2} = 2 z - \left|{z}\right|^{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = |z|^2+2z
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