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Trazado el gráfico de la función/ 4arctgx-x

Gráfico de la función y = 4arctgx-x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 4*acot(x) - x
f(x)=−x+4acot⁡(x)f{\left(x \right)} = - x + 4 \operatorname{acot}{\left(x \right)} 
f = -x + 4*acot(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x+4acot⁡(x)=0- x + 4 \operatorname{acot}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−1.92037774782957x_{1} = -1.92037774782957
x2=1.92037774782957x_{2} = 1.92037774782957
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 4*acot(x) - x.
−0+4acot⁡(0)- 0 + 4 \operatorname{acot}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=2πf{\left(0 \right)} = 2 \pi
Punto:
(0, 2*pi)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−1−4x2+1=0-1 - \frac{4}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
8x(x2+1)2=0\frac{8 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x+4acot⁡(x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- x + 4 \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−x+4acot⁡(x))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- x + 4 \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4*acot(x) - x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x+4acot⁡(x)x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x + 4 \operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞(−x+4acot⁡(x)x)=−1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + 4 \operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−xy = - x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x+4acot⁡(x)=x−4acot⁡(x)- x + 4 \operatorname{acot}{\left(x \right)} = x - 4 \operatorname{acot}{\left(x \right)}
- No
−x+4acot⁡(x)=−x+4acot⁡(x)- x + 4 \operatorname{acot}{\left(x \right)} = - x + 4 \operatorname{acot}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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