Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x-5*sqrt(x)+6

Gráfico de la función y = x-5*sqrt(x)+6

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
               ___    
f(x) = x - 5*\/ x  + 6
f(x)=(−5x+x)+6f{\left(x \right)} = \left(- 5 \sqrt{x} + x\right) + 6 
f = -5*sqrt(x) + x + 6
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-510
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−5x+x)+6=0\left(- 5 \sqrt{x} + x\right) + 6 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=4x_{1} = 4
x2=9x_{2} = 9
Solución numérica
x1=9x_{1} = 9
x2=4x_{2} = 4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x - 5*sqrt(x) + 6.
6−506 - 5 \sqrt{0}
Resultado:
f(0)=6f{\left(0 \right)} = 6
Punto:
(0, 6)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1−52x=01 - \frac{5}{2 \sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=254x_{1} = \frac{25}{4}
Signos de extremos en los puntos:
(25/4, -1/4)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=254x_{1} = \frac{25}{4}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[254,∞)\left[\frac{25}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,254]\left(-\infty, \frac{25}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
54x32=0\frac{5}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−5x+x)+6)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 5 \sqrt{x} + x\right) + 6\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−5x+x)+6)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 5 \sqrt{x} + x\right) + 6\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x - 5*sqrt(x) + 6, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−5x+x)+6x)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 5 \sqrt{x} + x\right) + 6}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞((−5x+x)+6x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 5 \sqrt{x} + x\right) + 6}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−5x+x)+6=−x−5−x+6\left(- 5 \sqrt{x} + x\right) + 6 = - x - 5 \sqrt{- x} + 6
- No
(−5x+x)+6=x+5−x−6\left(- 5 \sqrt{x} + x\right) + 6 = x + 5 \sqrt{- x} - 6
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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