Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (1/3)sqrt(x)/(x+1)

Gráfico de la función y = (1/3)sqrt(x)/(x+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       /  ___\
       |\/ x |
       |-----|
       \  3  /
f(x) = -------
        x + 1
f(x)=13xx+1f{\left(x \right)} = \frac{\frac{1}{3} \sqrt{x}}{x + 1} 
f = (sqrt(x)/3)/(x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.00.2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
13xx+1=0\frac{\frac{1}{3} \sqrt{x}}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (sqrt(x)/3)/(x + 1).
1301\frac{\frac{1}{3} \sqrt{0}}{1}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x3(x+1)2+16x(x+1)=0- \frac{\sqrt{x}}{3 \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{6 \sqrt{x} \left(x + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(1, 1/6)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Crece en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(13xx+1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{3} \sqrt{x}}{x + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(13xx+1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{3} \sqrt{x}}{x + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (sqrt(x)/3)/(x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(13x(x+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{3 \sqrt{x} \left(x + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(13x(x+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{3 \sqrt{x} \left(x + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
13xx+1=−x3(1−x)\frac{\frac{1}{3} \sqrt{x}}{x + 1} = \frac{\sqrt{- x}}{3 \left(1 - x\right)}
- No
13xx+1=−−x3(1−x)\frac{\frac{1}{3} \sqrt{x}}{x + 1} = - \frac{\sqrt{- x}}{3 \left(1 - x\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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