Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
(x^3-x^2)/(4-x^2)
- Derivada de:
-
ln((x^2+4)/x)
-
Expresiones idénticas
- ln((x^ dos + cuatro)/x)
- ln((x al cuadrado más 4) dividir por x)
- ln((x en el grado dos más cuatro) dividir por x)
- ln((x2+4)/x)
- lnx2+4/x
- ln((x²+4)/x)
- ln((x en el grado 2+4)/x)
- lnx^2+4/x
- ln((x^2+4) dividir por x)
-
Expresiones semejantes
- ln((x^2-4)/x)
-
Expresiones con funciones
- ln
- lnx/x^(1/2)
- ln(x)+x
- ln(x/(x+1))
- lnx/x^1/2
- ln(x)/x^(1/2)
Gráfico de la función y = ln((x^2+4)/x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|x + 4|
f(x) = log|------|
\ x /
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x^{2} + 4}{x} \right)}$$
f = log((x^2 + 4)/x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(\frac{x^{2} + 4}{x} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(\frac{x^{2} + 4}{x} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x \left(2 - \frac{x^{2} + 4}{x^{2}}\right)}{x^{2} + 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x \left(2 - \frac{x^{2} + 4}{x^{2}}\right)}{x^{2} + 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
(-2, pi*I + log(4))
(2, log(4))
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{2 x^{2} \left(2 - \frac{x^{2} + 4}{x^{2}}\right)}{x^{2} + 4} + \frac{x^{2} + 4}{x^{2}}}{x^{2} + 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \sqrt{2 + \sqrt{5}}$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{2 + \sqrt{5}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \frac{2 x^{2} \left(2 - \frac{x^{2} + 4}{x^{2}}\right)}{x^{2} + 4} + \frac{x^{2} + 4}{x^{2}}}{x^{2} + 4}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{2 x^{2} \left(2 - \frac{x^{2} + 4}{x^{2}}\right)}{x^{2} + 4} + \frac{x^{2} + 4}{x^{2}}}{x^{2} + 4}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2 \sqrt{2 + \sqrt{5}}, 2 \sqrt{2 + \sqrt{5}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{2 + \sqrt{5}}\right] \cup \left[2 \sqrt{2 + \sqrt{5}}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{2 x^{2} \left(2 - \frac{x^{2} + 4}{x^{2}}\right)}{x^{2} + 4} + \frac{x^{2} + 4}{x^{2}}}{x^{2} + 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \sqrt{2 + \sqrt{5}}$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{2 + \sqrt{5}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \frac{2 x^{2} \left(2 - \frac{x^{2} + 4}{x^{2}}\right)}{x^{2} + 4} + \frac{x^{2} + 4}{x^{2}}}{x^{2} + 4}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{2 x^{2} \left(2 - \frac{x^{2} + 4}{x^{2}}\right)}{x^{2} + 4} + \frac{x^{2} + 4}{x^{2}}}{x^{2} + 4}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2 \sqrt{2 + \sqrt{5}}, 2 \sqrt{2 + \sqrt{5}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{2 + \sqrt{5}}\right] \cup \left[2 \sqrt{2 + \sqrt{5}}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\frac{x^{2} + 4}{x} \right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\frac{x^{2} + 4}{x} \right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\frac{x^{2} + 4}{x} \right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\frac{x^{2} + 4}{x} \right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log((x^2 + 4)/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x^{2} + 4}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x^{2} + 4}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x^{2} + 4}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x^{2} + 4}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\frac{x^{2} + 4}{x} \right)} = \log{\left(- \frac{x^{2} + 4}{x} \right)}$$
- No
$$\log{\left(\frac{x^{2} + 4}{x} \right)} = - \log{\left(- \frac{x^{2} + 4}{x} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\frac{x^{2} + 4}{x} \right)} = \log{\left(- \frac{x^{2} + 4}{x} \right)}$$
- No
$$\log{\left(\frac{x^{2} + 4}{x} \right)} = - \log{\left(- \frac{x^{2} + 4}{x} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar