Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{- \frac{4 x}{\left(2 x - 5\right) \sqrt{x^{2} - 1}} - \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}} + \frac{8 \sqrt{x^{2} - 1}}{\left(2 x - 5\right)^{2}}}{2 x - 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{25 \sqrt[3]{\frac{21 \sqrt{17}}{200} + \frac{433}{1000}}} + \frac{1}{5} + \sqrt[3]{\frac{21 \sqrt{17}}{200} + \frac{433}{1000}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 2.5$$
$$\lim_{x \to 2.5^-}\left(\frac{- \frac{4 x}{\left(2 x - 5\right) \sqrt{x^{2} - 1}} - \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}} + \frac{8 \sqrt{x^{2} - 1}}{\left(2 x - 5\right)^{2}}}{2 x - 5}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2.5^+}\left(\frac{- \frac{4 x}{\left(2 x - 5\right) \sqrt{x^{2} - 1}} - \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}} + \frac{8 \sqrt{x^{2} - 1}}{\left(2 x - 5\right)^{2}}}{2 x - 5}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 2.5$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{25 \sqrt[3]{\frac{21 \sqrt{17}}{200} + \frac{433}{1000}}} + \frac{1}{5} + \sqrt[3]{\frac{21 \sqrt{17}}{200} + \frac{433}{1000}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{1}{25 \sqrt[3]{\frac{21 \sqrt{17}}{200} + \frac{433}{1000}}} + \frac{1}{5} + \sqrt[3]{\frac{21 \sqrt{17}}{200} + \frac{433}{1000}}, \infty\right)$$