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Trazado el gráfico de la función/ (2x+1)^2+5(x-1)^2

Gráfico de la función y = (2x+1)^2+5(x-1)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                2            2
f(x) = (2*x + 1)  + 5*(x - 1)
f(x)=5(x−1)2+(2x+1)2f{\left(x \right)} = 5 \left(x - 1\right)^{2} + \left(2 x + 1\right)^{2} 
f = 5*(x - 1)^2 + (2*x + 1)^2
Gráfico de la función
-5.0-4.0-3.0-2.0-1.05.00.01.02.03.04.00500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
5(x−1)2+(2x+1)2=05 \left(x - 1\right)^{2} + \left(2 x + 1\right)^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (2*x + 1)^2 + 5*(x - 1)^2.
(0⋅2+1)2+5(−1)2\left(0 \cdot 2 + 1\right)^{2} + 5 \left(-1\right)^{2}
Resultado:
f(0)=6f{\left(0 \right)} = 6
Punto:
(0, 6)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
18x−6=018 x - 6 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=13x_{1} = \frac{1}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(1/3, 5)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=13x_{1} = \frac{1}{3}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[13,∞)\left[\frac{1}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,13]\left(-\infty, \frac{1}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
18=018 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(5(x−1)2+(2x+1)2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(5 \left(x - 1\right)^{2} + \left(2 x + 1\right)^{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(5(x−1)2+(2x+1)2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(5 \left(x - 1\right)^{2} + \left(2 x + 1\right)^{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x + 1)^2 + 5*(x - 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(5(x−1)2+(2x+1)2x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 \left(x - 1\right)^{2} + \left(2 x + 1\right)^{2}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(5(x−1)2+(2x+1)2x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 \left(x - 1\right)^{2} + \left(2 x + 1\right)^{2}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
5(x−1)2+(2x+1)2=(1−2x)2+5(−x−1)25 \left(x - 1\right)^{2} + \left(2 x + 1\right)^{2} = \left(1 - 2 x\right)^{2} + 5 \left(- x - 1\right)^{2}
- No
5(x−1)2+(2x+1)2=−(1−2x)2−5(−x−1)25 \left(x - 1\right)^{2} + \left(2 x + 1\right)^{2} = - \left(1 - 2 x\right)^{2} - 5 \left(- x - 1\right)^{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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