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Trazado el gráfico de la función/ f(x)=4x^2-8x+12

Gráfico de la función y = f(x)=4x^2-8x+12

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2           
f(x) = 4*x  - 8*x + 12
f(x)=(4x2−8x)+12f{\left(x \right)} = \left(4 x^{2} - 8 x\right) + 12 
f = 4*x^2 - 8*x + 12
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(4x2−8x)+12=0\left(4 x^{2} - 8 x\right) + 12 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 4*x^2 - 8*x + 12.
(4⋅02−0)+12\left(4 \cdot 0^{2} - 0\right) + 12
Resultado:
f(0)=12f{\left(0 \right)} = 12
Punto:
(0, 12)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
8x−8=08 x - 8 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(1, 8)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
8=08 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((4x2−8x)+12)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(4 x^{2} - 8 x\right) + 12\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((4x2−8x)+12)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(4 x^{2} - 8 x\right) + 12\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4*x^2 - 8*x + 12, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((4x2−8x)+12x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} - 8 x\right) + 12}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((4x2−8x)+12x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} - 8 x\right) + 12}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(4x2−8x)+12=4x2+8x+12\left(4 x^{2} - 8 x\right) + 12 = 4 x^{2} + 8 x + 12
- No
(4x2−8x)+12=−4x2−8x−12\left(4 x^{2} - 8 x\right) + 12 = - 4 x^{2} - 8 x - 12
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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