Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (2x+1)/(x(x+1))

Gráfico de la función y = (2x+1)/(x(x+1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2*x + 1 
f(x) = ---------
       x*(x + 1)
f(x)=2x+1x(x+1)f{\left(x \right)} = \frac{2 x + 1}{x \left(x + 1\right)} 
f = (2*x + 1)/((x*(x + 1)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2x+1x(x+1)=0\frac{2 x + 1}{x \left(x + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Solución numérica
x1=−0.5x_{1} = -0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (2*x + 1)/((x*(x + 1))).
0⋅2+10\frac{0 \cdot 2 + 1}{0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x(x+1)+(−2x−1)(2x+1)x2(x+1)2=0\frac{2}{x \left(x + 1\right)} + \frac{\left(- 2 x - 1\right) \left(2 x + 1\right)}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(2x+1)((2x+1)(1x+1+1x)−6+2x+1x+1+2x+1x)x2(x+1)2=0\frac{\left(2 x + 1\right) \left(\left(2 x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}\right) - 6 + \frac{2 x + 1}{x + 1} + \frac{2 x + 1}{x}\right)}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0

lim⁡x→−1−((2x+1)((2x+1)(1x+1+1x)−6+2x+1x+1+2x+1x)x2(x+1)2)=−∞\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\left(2 x + 1\right) \left(\left(2 x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}\right) - 6 + \frac{2 x + 1}{x + 1} + \frac{2 x + 1}{x}\right)}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→−1+((2x+1)((2x+1)(1x+1+1x)−6+2x+1x+1+2x+1x)x2(x+1)2)=∞\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\left(2 x + 1\right) \left(\left(2 x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}\right) - 6 + \frac{2 x + 1}{x + 1} + \frac{2 x + 1}{x}\right)}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión
lim⁡x→0−((2x+1)((2x+1)(1x+1+1x)−6+2x+1x+1+2x+1x)x2(x+1)2)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(2 x + 1\right) \left(\left(2 x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}\right) - 6 + \frac{2 x + 1}{x + 1} + \frac{2 x + 1}{x}\right)}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→0+((2x+1)((2x+1)(1x+1+1x)−6+2x+1x+1+2x+1x)x2(x+1)2)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(2 x + 1\right) \left(\left(2 x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}\right) - 6 + \frac{2 x + 1}{x + 1} + \frac{2 x + 1}{x}\right)}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=0x_{2} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−12]\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]
Convexa en los intervalos
[−12,∞)\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2x+1x(x+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(2x+1x(x+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x + 1)/((x*(x + 1))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x(x+1)(2x+1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x \left(x + 1\right)} \left(2 x + 1\right)}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1x(x+1)(2x+1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x \left(x + 1\right)} \left(2 x + 1\right)}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2x+1x(x+1)=−1−2xx(1−x)\frac{2 x + 1}{x \left(x + 1\right)} = - \frac{1 - 2 x}{x \left(1 - x\right)}
- No
2x+1x(x+1)=1−2xx(1−x)\frac{2 x + 1}{x \left(x + 1\right)} = \frac{1 - 2 x}{x \left(1 - x\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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