Sr Examen

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cos(x+1)
Trazado el gráfico de la función/ cos(x+1)

Gráfico de la función y = cos(x+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(x + 1)
f(x)=cos⁡(x+1)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x + 1 \right)} 
f = cos(x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x+1)=0\cos{\left(x + 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1+π2x_{1} = -1 + \frac{\pi}{2}
x2=−1+3π2x_{2} = -1 + \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=66.5442420521806x_{1} = 66.5442420521806
x2=75.9690200129499x_{2} = 75.9690200129499
x3=3.71238898038469x_{3} = 3.71238898038469
x4=−37.1283155162826x_{4} = -37.1283155162826
x5=−62.261056745001x_{5} = -62.261056745001
x6=97.9601685880785x_{6} = 97.9601685880785
x7=−74.8274273593601x_{7} = -74.8274273593601
x8=−2.5707963267949x_{8} = -2.5707963267949
x9=69.6858347057703x_{9} = 69.6858347057703
x10=47.6946861306418x_{10} = 47.6946861306418
x11=−71.6858347057703x_{11} = -71.6858347057703
x12=94.8185759344887x_{12} = 94.8185759344887
x13=−84.2522053201295x_{13} = -84.2522053201295
x14=−52.8362787842316x_{14} = -52.8362787842316
x15=−30.845130209103x_{15} = -30.845130209103
x16=−87.3937979737193x_{16} = -87.3937979737193
x17=−5.71238898038469x_{17} = -5.71238898038469
x18=82.2522053201295x_{18} = 82.2522053201295
x19=6.85398163397448x_{19} = 6.85398163397448
x20=−65.4026493985908x_{20} = -65.4026493985908
x21=35.1283155162826x_{21} = 35.1283155162826
x22=−68.5442420521806x_{22} = -68.5442420521806
x23=60.261056745001x_{23} = 60.261056745001
x24=−43.4115008234622x_{24} = -43.4115008234622
x25=13.1371669411541x_{25} = 13.1371669411541
x26=−49.6946861306418x_{26} = -49.6946861306418
x27=−55.9778714378214x_{27} = -55.9778714378214
x28=−59.1194640914112x_{28} = -59.1194640914112
x29=−81.1106126665397x_{29} = -81.1106126665397
x30=53.9778714378214x_{30} = 53.9778714378214
x31=41.4115008234622x_{31} = 41.4115008234622
x32=−15.1371669411541x_{32} = -15.1371669411541
x33=−99.9601685880785x_{33} = -99.9601685880785
x34=31.9867228626928x_{34} = 31.9867228626928
x35=22.5619449019235x_{35} = 22.5619449019235
x36=−96.8185759344887x_{36} = -96.8185759344887
x37=−11.9955742875643x_{37} = -11.9955742875643
x38=44.553093477052x_{38} = 44.553093477052
x39=−27.7035375555132x_{39} = -27.7035375555132
x40=−24.5619449019235x_{40} = -24.5619449019235
x41=−21.4203522483337x_{41} = -21.4203522483337
x42=79.1106126665397x_{42} = 79.1106126665397
x43=−1287.48219164502x_{43} = -1287.48219164502
x44=57.1194640914112x_{44} = 57.1194640914112
x45=38.2699081698724x_{45} = 38.2699081698724
x46=−33.9867228626928x_{46} = -33.9867228626928
x47=50.8362787842316x_{47} = 50.8362787842316
x48=88.5353906273091x_{48} = 88.5353906273091
x49=19.4203522483337x_{49} = 19.4203522483337
x50=−8.85398163397448x_{50} = -8.85398163397448
x51=−40.2699081698724x_{51} = -40.2699081698724
x52=0.570796326794897x_{52} = 0.570796326794897
x53=72.8274273593601x_{53} = 72.8274273593601
x54=85.3937979737193x_{54} = 85.3937979737193
x55=−18.2787595947439x_{55} = -18.2787595947439
x56=−46.553093477052x_{56} = -46.553093477052
x57=547.207918051419x_{57} = 547.207918051419
x58=16.2787595947439x_{58} = 16.2787595947439
x59=28.845130209103x_{59} = 28.845130209103
x60=91.6769832808989x_{60} = 91.6769832808989
x61=63.4026493985908x_{61} = 63.4026493985908
x62=101.101761241668x_{62} = 101.101761241668
x63=25.7035375555132x_{63} = 25.7035375555132
x64=−90.5353906273091x_{64} = -90.5353906273091
x65=−77.9690200129499x_{65} = -77.9690200129499
x66=9.99557428756428x_{66} = 9.99557428756428
x67=−93.6769832808989x_{67} = -93.6769832808989
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x + 1).
cos⁡(1)\cos{\left(1 \right)}
Resultado:
f(0)=cos⁡(1)f{\left(0 \right)} = \cos{\left(1 \right)}
Punto:
(0, cos(1))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x+1)=0- \sin{\left(x + 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=−1+πx_{2} = -1 + \pi
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 1)

(-1 + pi, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1+πx_{1} = -1 + \pi
Puntos máximos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
Decrece en los intervalos
(−∞,−1]∪[−1+π,∞)\left(-\infty, -1\right] \cup \left[-1 + \pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−1,−1+π]\left[-1, -1 + \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x+1)=0- \cos{\left(x + 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1+π2x_{1} = -1 + \frac{\pi}{2}
x2=−1+3π2x_{2} = -1 + \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−1+π2,−1+3π2]\left[-1 + \frac{\pi}{2}, -1 + \frac{3 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−1+π2]∪[−1+3π2,∞)\left(-\infty, -1 + \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[-1 + \frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(x+1)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(x + 1 \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡(x+1)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos{\left(x + 1 \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x+1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x + 1 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x+1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x + 1 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x+1)=cos⁡(x−1)\cos{\left(x + 1 \right)} = \cos{\left(x - 1 \right)}
- No
cos⁡(x+1)=−cos⁡(x−1)\cos{\left(x + 1 \right)} = - \cos{\left(x - 1 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(x+1)
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