Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/(1+x^2)
-
y^2+1
-
x/(x-1)
-
x/(x^2-1)
- Derivada de:
-
cosx/x
- Integral de d{x}:
- cosx/x
-
Expresiones idénticas
- cosx/x
- coseno de x dividir por x
- cosx dividir por x
-
Expresiones semejantes
- (x-2*cos(x))/(x+5*cos(x))
- abs(arcsin(abs(arccos(x/(x+pi)))))
- (1-cos(x))/x^2
- (1-cos(x))/x
- cos(x)/x
-
Expresiones con funciones
- cosx
- cosx+1/2sin2x
- cosx-2
- cosx*(1/x)
- cosx+2cos^2x-1
- cosx+x-2
Gráfico de la función y = cosx/x
Solución
Ha introducido
[src]
cos(x)
f(x) = ------
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}$$
f = cos(x)/x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 17.2787595947439$$
$$x_{2} = -23.5619449019235$$
$$x_{3} = -14.1371669411541$$
$$x_{4} = 51.8362787842316$$
$$x_{5} = -17.2787595947439$$
$$x_{6} = -10.9955742875643$$
$$x_{7} = -36.1283155162826$$
$$x_{8} = -95.8185759344887$$
$$x_{9} = -48.6946861306418$$
$$x_{10} = -26.7035375555132$$
$$x_{11} = 4.71238898038469$$
$$x_{12} = 26.7035375555132$$
$$x_{13} = 89.5353906273091$$
$$x_{14} = 23.5619449019235$$
$$x_{15} = 14.1371669411541$$
$$x_{16} = 42.4115008234622$$
$$x_{17} = 95.8185759344887$$
$$x_{18} = -61.261056745001$$
$$x_{19} = 58.1194640914112$$
$$x_{20} = 36.1283155162826$$
$$x_{21} = 29.845130209103$$
$$x_{22} = -73.8274273593601$$
$$x_{23} = 1173.38485611579$$
$$x_{24} = 61.261056745001$$
$$x_{25} = 48.6946861306418$$
$$x_{26} = -4.71238898038469$$
$$x_{27} = 70.6858347057703$$
$$x_{28} = -7.85398163397448$$
$$x_{29} = -51.8362787842316$$
$$x_{30} = -76.9690200129499$$
$$x_{31} = -89.5353906273091$$
$$x_{32} = -39.2699081698724$$
$$x_{33} = 80.1106126665397$$
$$x_{34} = -42.4115008234622$$
$$x_{35} = 83.2522053201295$$
$$x_{36} = -92.6769832808989$$
$$x_{37} = 347.145988221672$$
$$x_{38} = 32.9867228626928$$
$$x_{39} = 45.553093477052$$
$$x_{40} = 20.4203522483337$$
$$x_{41} = 64.4026493985908$$
$$x_{42} = -32.9867228626928$$
$$x_{43} = 67.5442420521806$$
$$x_{44} = 199.491133502952$$
$$x_{45} = -20.4203522483337$$
$$x_{46} = -422.544211907827$$
$$x_{47} = -80.1106126665397$$
$$x_{48} = 7.85398163397448$$
$$x_{49} = -45.553093477052$$
$$x_{50} = 76.9690200129499$$
$$x_{51} = -1.5707963267949$$
$$x_{52} = 39.2699081698724$$
$$x_{53} = -70.6858347057703$$
$$x_{54} = -67.5442420521806$$
$$x_{55} = -98.9601685880785$$
$$x_{56} = -29.845130209103$$
$$x_{57} = -83.2522053201295$$
$$x_{58} = -86.3937979737193$$
$$x_{59} = 98.9601685880785$$
$$x_{60} = 73.8274273593601$$
$$x_{61} = -58.1194640914112$$
$$x_{62} = 92.6769832808989$$
$$x_{63} = 54.9778714378214$$
$$x_{64} = 86.3937979737193$$
$$x_{65} = 1.5707963267949$$
$$x_{66} = -54.9778714378214$$
$$x_{67} = -64.4026493985908$$
$$x_{68} = 10.9955742875643$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 17.2787595947439$$
$$x_{2} = -23.5619449019235$$
$$x_{3} = -14.1371669411541$$
$$x_{4} = 51.8362787842316$$
$$x_{5} = -17.2787595947439$$
$$x_{6} = -10.9955742875643$$
$$x_{7} = -36.1283155162826$$
$$x_{8} = -95.8185759344887$$
$$x_{9} = -48.6946861306418$$
$$x_{10} = -26.7035375555132$$
$$x_{11} = 4.71238898038469$$
$$x_{12} = 26.7035375555132$$
$$x_{13} = 89.5353906273091$$
$$x_{14} = 23.5619449019235$$
$$x_{15} = 14.1371669411541$$
$$x_{16} = 42.4115008234622$$
$$x_{17} = 95.8185759344887$$
$$x_{18} = -61.261056745001$$
$$x_{19} = 58.1194640914112$$
$$x_{20} = 36.1283155162826$$
$$x_{21} = 29.845130209103$$
$$x_{22} = -73.8274273593601$$
$$x_{23} = 1173.38485611579$$
$$x_{24} = 61.261056745001$$
$$x_{25} = 48.6946861306418$$
$$x_{26} = -4.71238898038469$$
$$x_{27} = 70.6858347057703$$
$$x_{28} = -7.85398163397448$$
$$x_{29} = -51.8362787842316$$
$$x_{30} = -76.9690200129499$$
$$x_{31} = -89.5353906273091$$
$$x_{32} = -39.2699081698724$$
$$x_{33} = 80.1106126665397$$
$$x_{34} = -42.4115008234622$$
$$x_{35} = 83.2522053201295$$
$$x_{36} = -92.6769832808989$$
$$x_{37} = 347.145988221672$$
$$x_{38} = 32.9867228626928$$
$$x_{39} = 45.553093477052$$
$$x_{40} = 20.4203522483337$$
$$x_{41} = 64.4026493985908$$
$$x_{42} = -32.9867228626928$$
$$x_{43} = 67.5442420521806$$
$$x_{44} = 199.491133502952$$
$$x_{45} = -20.4203522483337$$
$$x_{46} = -422.544211907827$$
$$x_{47} = -80.1106126665397$$
$$x_{48} = 7.85398163397448$$
$$x_{49} = -45.553093477052$$
$$x_{50} = 76.9690200129499$$
$$x_{51} = -1.5707963267949$$
$$x_{52} = 39.2699081698724$$
$$x_{53} = -70.6858347057703$$
$$x_{54} = -67.5442420521806$$
$$x_{55} = -98.9601685880785$$
$$x_{56} = -29.845130209103$$
$$x_{57} = -83.2522053201295$$
$$x_{58} = -86.3937979737193$$
$$x_{59} = 98.9601685880785$$
$$x_{60} = 73.8274273593601$$
$$x_{61} = -58.1194640914112$$
$$x_{62} = 92.6769832808989$$
$$x_{63} = 54.9778714378214$$
$$x_{64} = 86.3937979737193$$
$$x_{65} = 1.5707963267949$$
$$x_{66} = -54.9778714378214$$
$$x_{67} = -64.4026493985908$$
$$x_{68} = 10.9955742875643$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -84.811211299318$$
$$x_{2} = -135.08108127842$$
$$x_{3} = 94.2371684817036$$
$$x_{4} = -34.5285657554621$$
$$x_{5} = -69.100567727981$$
$$x_{6} = 69.100567727981$$
$$x_{7} = -169.640108529775$$
$$x_{8} = 84.811211299318$$
$$x_{9} = 37.672573565113$$
$$x_{10} = 197.91528455229$$
$$x_{11} = 65.9582857893902$$
$$x_{12} = 43.9595528888955$$
$$x_{13} = -65.9582857893902$$
$$x_{14} = 50.2455828375744$$
$$x_{15} = 75.3849592185347$$
$$x_{16} = -81.6691650818489$$
$$x_{17} = -72.2427897046973$$
$$x_{18} = -75.3849592185347$$
$$x_{19} = 78.5270825679419$$
$$x_{20} = -9.31786646179107$$
$$x_{21} = 87.9532251106725$$
$$x_{22} = -62.8159348889734$$
$$x_{23} = 2.79838604578389$$
$$x_{24} = -37.672573565113$$
$$x_{25} = -6.12125046689807$$
$$x_{26} = 81.6691650818489$$
$$x_{27} = -56.5309801938186$$
$$x_{28} = 40.8162093266346$$
$$x_{29} = 34.5285657554621$$
$$x_{30} = -53.3883466217256$$
$$x_{31} = 47.1026627703624$$
$$x_{32} = -94.2371684817036$$
$$x_{33} = -31.3840740178899$$
$$x_{34} = -109.946647805931$$
$$x_{35} = -2.79838604578389$$
$$x_{36} = 100.521017074687$$
$$x_{37} = -87.9532251106725$$
$$x_{38} = -47.1026627703624$$
$$x_{39} = -28.2389365752603$$
$$x_{40} = -25.0929104121121$$
$$x_{41} = 28.2389365752603$$
$$x_{42} = -97.3791034786112$$
$$x_{43} = 31.3840740178899$$
$$x_{44} = 15.644128370333$$
$$x_{45} = 62.8159348889734$$
$$x_{46} = 12.4864543952238$$
$$x_{47} = -91.0952098694071$$
$$x_{48} = -43.9595528888955$$
$$x_{49} = 59.6735041304405$$
$$x_{50} = 91.0952098694071$$
$$x_{51} = 9.31786646179107$$
$$x_{52} = 6.12125046689807$$
$$x_{53} = 72.2427897046973$$
$$x_{54} = -12.4864543952238$$
$$x_{55} = -59.6735041304405$$
$$x_{56} = -15.644128370333$$
$$x_{57} = -78.5270825679419$$
$$x_{58} = 21.945612879981$$
$$x_{59} = -50.2455828375744$$
$$x_{60} = -21.945612879981$$
$$x_{61} = 18.7964043662102$$
$$x_{62} = -100.521017074687$$
$$x_{63} = 97.3791034786112$$
$$x_{64} = -18.7964043662102$$
$$x_{65} = 53.3883466217256$$
$$x_{66} = -40.8162093266346$$
$$x_{67} = 25.0929104121121$$
$$x_{68} = 56.5309801938186$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -69.100567727981$$
$$x_{2} = -169.640108529775$$
$$x_{3} = 84.811211299318$$
$$x_{4} = 197.91528455229$$
$$x_{5} = 65.9582857893902$$
$$x_{6} = -81.6691650818489$$
$$x_{7} = -75.3849592185347$$
$$x_{8} = 78.5270825679419$$
$$x_{9} = -62.8159348889734$$
$$x_{10} = 2.79838604578389$$
$$x_{11} = -37.672573565113$$
$$x_{12} = -6.12125046689807$$
$$x_{13} = -56.5309801938186$$
$$x_{14} = 40.8162093266346$$
$$x_{15} = 34.5285657554621$$
$$x_{16} = 47.1026627703624$$
$$x_{17} = -94.2371684817036$$
$$x_{18} = -31.3840740178899$$
$$x_{19} = -87.9532251106725$$
$$x_{20} = -25.0929104121121$$
$$x_{21} = 28.2389365752603$$
$$x_{22} = 15.644128370333$$
$$x_{23} = -43.9595528888955$$
$$x_{24} = 59.6735041304405$$
$$x_{25} = 91.0952098694071$$
$$x_{26} = 9.31786646179107$$
$$x_{27} = 72.2427897046973$$
$$x_{28} = -12.4864543952238$$
$$x_{29} = 21.945612879981$$
$$x_{30} = -50.2455828375744$$
$$x_{31} = -100.521017074687$$
$$x_{32} = 97.3791034786112$$
$$x_{33} = -18.7964043662102$$
$$x_{34} = 53.3883466217256$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{34} = -84.811211299318$$
$$x_{34} = -135.08108127842$$
$$x_{34} = 94.2371684817036$$
$$x_{34} = -34.5285657554621$$
$$x_{34} = 69.100567727981$$
$$x_{34} = 37.672573565113$$
$$x_{34} = 43.9595528888955$$
$$x_{34} = -65.9582857893902$$
$$x_{34} = 50.2455828375744$$
$$x_{34} = 75.3849592185347$$
$$x_{34} = -72.2427897046973$$
$$x_{34} = -9.31786646179107$$
$$x_{34} = 87.9532251106725$$
$$x_{34} = 81.6691650818489$$
$$x_{34} = -53.3883466217256$$
$$x_{34} = -109.946647805931$$
$$x_{34} = -2.79838604578389$$
$$x_{34} = 100.521017074687$$
$$x_{34} = -47.1026627703624$$
$$x_{34} = -28.2389365752603$$
$$x_{34} = -97.3791034786112$$
$$x_{34} = 31.3840740178899$$
$$x_{34} = 62.8159348889734$$
$$x_{34} = 12.4864543952238$$
$$x_{34} = -91.0952098694071$$
$$x_{34} = 6.12125046689807$$
$$x_{34} = -59.6735041304405$$
$$x_{34} = -15.644128370333$$
$$x_{34} = -78.5270825679419$$
$$x_{34} = -21.945612879981$$
$$x_{34} = 18.7964043662102$$
$$x_{34} = -40.8162093266346$$
$$x_{34} = 25.0929104121121$$
$$x_{34} = 56.5309801938186$$
Decrece en los intervalos
$$\left[197.91528455229, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -169.640108529775\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -84.811211299318$$
$$x_{2} = -135.08108127842$$
$$x_{3} = 94.2371684817036$$
$$x_{4} = -34.5285657554621$$
$$x_{5} = -69.100567727981$$
$$x_{6} = 69.100567727981$$
$$x_{7} = -169.640108529775$$
$$x_{8} = 84.811211299318$$
$$x_{9} = 37.672573565113$$
$$x_{10} = 197.91528455229$$
$$x_{11} = 65.9582857893902$$
$$x_{12} = 43.9595528888955$$
$$x_{13} = -65.9582857893902$$
$$x_{14} = 50.2455828375744$$
$$x_{15} = 75.3849592185347$$
$$x_{16} = -81.6691650818489$$
$$x_{17} = -72.2427897046973$$
$$x_{18} = -75.3849592185347$$
$$x_{19} = 78.5270825679419$$
$$x_{20} = -9.31786646179107$$
$$x_{21} = 87.9532251106725$$
$$x_{22} = -62.8159348889734$$
$$x_{23} = 2.79838604578389$$
$$x_{24} = -37.672573565113$$
$$x_{25} = -6.12125046689807$$
$$x_{26} = 81.6691650818489$$
$$x_{27} = -56.5309801938186$$
$$x_{28} = 40.8162093266346$$
$$x_{29} = 34.5285657554621$$
$$x_{30} = -53.3883466217256$$
$$x_{31} = 47.1026627703624$$
$$x_{32} = -94.2371684817036$$
$$x_{33} = -31.3840740178899$$
$$x_{34} = -109.946647805931$$
$$x_{35} = -2.79838604578389$$
$$x_{36} = 100.521017074687$$
$$x_{37} = -87.9532251106725$$
$$x_{38} = -47.1026627703624$$
$$x_{39} = -28.2389365752603$$
$$x_{40} = -25.0929104121121$$
$$x_{41} = 28.2389365752603$$
$$x_{42} = -97.3791034786112$$
$$x_{43} = 31.3840740178899$$
$$x_{44} = 15.644128370333$$
$$x_{45} = 62.8159348889734$$
$$x_{46} = 12.4864543952238$$
$$x_{47} = -91.0952098694071$$
$$x_{48} = -43.9595528888955$$
$$x_{49} = 59.6735041304405$$
$$x_{50} = 91.0952098694071$$
$$x_{51} = 9.31786646179107$$
$$x_{52} = 6.12125046689807$$
$$x_{53} = 72.2427897046973$$
$$x_{54} = -12.4864543952238$$
$$x_{55} = -59.6735041304405$$
$$x_{56} = -15.644128370333$$
$$x_{57} = -78.5270825679419$$
$$x_{58} = 21.945612879981$$
$$x_{59} = -50.2455828375744$$
$$x_{60} = -21.945612879981$$
$$x_{61} = 18.7964043662102$$
$$x_{62} = -100.521017074687$$
$$x_{63} = 97.3791034786112$$
$$x_{64} = -18.7964043662102$$
$$x_{65} = 53.3883466217256$$
$$x_{66} = -40.8162093266346$$
$$x_{67} = 25.0929104121121$$
$$x_{68} = 56.5309801938186$$
Signos de extremos en los puntos:
(-84.81121129931802, 0.0117900744410766)
(-135.0810812784199, 0.00740275832666827)
(94.23716848170359, 0.01061092686295)
(-34.52856575546206, 0.0289493889114503)
(-69.10056772798097, -0.0144701459746764)
(69.10056772798097, 0.0144701459746764)
(-169.6401085297751, -0.00589472993500857)
(84.81121129931802, -0.0117900744410766)
(37.67257356511297, 0.0265351630103045)
(197.91528455229027, -0.00505260236866135)
(65.95828578939016, -0.0151593553168405)
(43.959552888895495, 0.0227423004725314)
(-65.95828578939016, 0.0151593553168405)
(50.24558283757444, 0.0198983065303553)
(75.38495921853475, 0.0132640786518247)
(-81.66916508184887, -0.0122436055670467)
(-72.24278970469729, 0.0138408859131547)
(-75.38495921853475, -0.0132640786518247)
(78.52708256794193, -0.0127334276777468)
(-9.317866461791066, 0.106707947715237)
(87.95322511067255, 0.0113689449158811)
(-62.81593488897342, -0.015917510583426)
(2.798386045783887, -0.336508416918395)
(-37.67257356511297, -0.0265351630103045)
(-6.1212504668980685, -0.161228034325064)
(81.66916508184887, 0.0122436055670467)
(-56.53098019381864, -0.0176866485521696)
(40.81620932663458, -0.0244927205346957)
(34.52856575546206, -0.0289493889114503)
(-53.38834662172563, 0.0187273944640866)
(47.10266277036235, -0.0212254394164143)
(-94.23716848170359, -0.01061092686295)
(-31.38407401788986, -0.0318471321112693)
(-109.94664780593057, 0.00909494432157336)
(-2.798386045783887, 0.336508416918395)
(100.52101707468658, 0.00994767611536293)
(-87.95322511067255, -0.0113689449158811)
(-47.10266277036235, 0.0212254394164143)
(-28.238936575260272, 0.0353899155541688)
(-25.092910412112097, -0.0398202855500511)
(28.238936575260272, -0.0353899155541688)
(-97.3791034786112, 0.0102686022030809)
(31.38407401788986, 0.0318471321112693)
(15.644128370333028, -0.0637915530395936)
(62.81593488897342, 0.015917510583426)
(12.486454395223781, 0.0798311807800032)
(-91.09520986940714, 0.0109768642483425)
(-43.959552888895495, -0.0227423004725314)
(59.67350413044053, -0.0167555036571887)
(91.09520986940714, -0.0109768642483425)
(9.317866461791066, -0.106707947715237)
(6.1212504668980685, 0.161228034325064)
(72.24278970469729, -0.0138408859131547)
(-12.486454395223781, -0.0798311807800032)
(-59.67350413044053, 0.0167555036571887)
(-15.644128370333028, 0.0637915530395936)
(-78.52708256794193, 0.0127334276777468)
(21.945612879981045, -0.0455199604051285)
(-50.24558283757444, -0.0198983065303553)
(-21.945612879981045, 0.0455199604051285)
(18.796404366210158, 0.0531265325613881)
(-100.52101707468658, -0.00994767611536293)
(97.3791034786112, -0.0102686022030809)
(-18.796404366210158, -0.0531265325613881)
(53.38834662172563, -0.0187273944640866)
(-40.81620932663458, 0.0244927205346957)
(25.092910412112097, 0.0398202855500511)
(56.53098019381864, 0.0176866485521696)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -69.100567727981$$
$$x_{2} = -169.640108529775$$
$$x_{3} = 84.811211299318$$
$$x_{4} = 197.91528455229$$
$$x_{5} = 65.9582857893902$$
$$x_{6} = -81.6691650818489$$
$$x_{7} = -75.3849592185347$$
$$x_{8} = 78.5270825679419$$
$$x_{9} = -62.8159348889734$$
$$x_{10} = 2.79838604578389$$
$$x_{11} = -37.672573565113$$
$$x_{12} = -6.12125046689807$$
$$x_{13} = -56.5309801938186$$
$$x_{14} = 40.8162093266346$$
$$x_{15} = 34.5285657554621$$
$$x_{16} = 47.1026627703624$$
$$x_{17} = -94.2371684817036$$
$$x_{18} = -31.3840740178899$$
$$x_{19} = -87.9532251106725$$
$$x_{20} = -25.0929104121121$$
$$x_{21} = 28.2389365752603$$
$$x_{22} = 15.644128370333$$
$$x_{23} = -43.9595528888955$$
$$x_{24} = 59.6735041304405$$
$$x_{25} = 91.0952098694071$$
$$x_{26} = 9.31786646179107$$
$$x_{27} = 72.2427897046973$$
$$x_{28} = -12.4864543952238$$
$$x_{29} = 21.945612879981$$
$$x_{30} = -50.2455828375744$$
$$x_{31} = -100.521017074687$$
$$x_{32} = 97.3791034786112$$
$$x_{33} = -18.7964043662102$$
$$x_{34} = 53.3883466217256$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{34} = -84.811211299318$$
$$x_{34} = -135.08108127842$$
$$x_{34} = 94.2371684817036$$
$$x_{34} = -34.5285657554621$$
$$x_{34} = 69.100567727981$$
$$x_{34} = 37.672573565113$$
$$x_{34} = 43.9595528888955$$
$$x_{34} = -65.9582857893902$$
$$x_{34} = 50.2455828375744$$
$$x_{34} = 75.3849592185347$$
$$x_{34} = -72.2427897046973$$
$$x_{34} = -9.31786646179107$$
$$x_{34} = 87.9532251106725$$
$$x_{34} = 81.6691650818489$$
$$x_{34} = -53.3883466217256$$
$$x_{34} = -109.946647805931$$
$$x_{34} = -2.79838604578389$$
$$x_{34} = 100.521017074687$$
$$x_{34} = -47.1026627703624$$
$$x_{34} = -28.2389365752603$$
$$x_{34} = -97.3791034786112$$
$$x_{34} = 31.3840740178899$$
$$x_{34} = 62.8159348889734$$
$$x_{34} = 12.4864543952238$$
$$x_{34} = -91.0952098694071$$
$$x_{34} = 6.12125046689807$$
$$x_{34} = -59.6735041304405$$
$$x_{34} = -15.644128370333$$
$$x_{34} = -78.5270825679419$$
$$x_{34} = -21.945612879981$$
$$x_{34} = 18.7964043662102$$
$$x_{34} = -40.8162093266346$$
$$x_{34} = 25.0929104121121$$
$$x_{34} = 56.5309801938186$$
Decrece en los intervalos
$$\left[197.91528455229, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -169.640108529775\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -4.2222763997912$$
$$x_{2} = -10.8095072981602$$
$$x_{3} = 42.3642737086586$$
$$x_{4} = -64.3715747870554$$
$$x_{5} = -13.9937625671267$$
$$x_{6} = 76.9430238267933$$
$$x_{7} = -7.5873993379941$$
$$x_{8} = 48.6535676048409$$
$$x_{9} = -80.0856368040887$$
$$x_{10} = 23.4766510546492$$
$$x_{11} = 89.5130456566371$$
$$x_{12} = 4.2222763997912$$
$$x_{13} = 73.8003238908837$$
$$x_{14} = -23.4766510546492$$
$$x_{15} = -86.370639887736$$
$$x_{16} = 58.085025007445$$
$$x_{17} = -20.3217772482235$$
$$x_{18} = -92.655396245836$$
$$x_{19} = 54.9414610202918$$
$$x_{20} = 29.7779159141436$$
$$x_{21} = 230.898398112111$$
$$x_{22} = 17.1619600917303$$
$$x_{23} = 32.9259431758392$$
$$x_{24} = -83.2281726832512$$
$$x_{25} = -73.8003238908837$$
$$x_{26} = 26.6283591640252$$
$$x_{27} = -271.740404503579$$
$$x_{28} = -61.2283863503723$$
$$x_{29} = 70.6575253785884$$
$$x_{30} = -95.7976970894915$$
$$x_{31} = 61.2283863503723$$
$$x_{32} = 83.2281726832512$$
$$x_{33} = 7.5873993379941$$
$$x_{34} = 39.218890250481$$
$$x_{35} = -26.6283591640252$$
$$x_{36} = 13.9937625671267$$
$$x_{37} = -29.7779159141436$$
$$x_{38} = -70.6575253785884$$
$$x_{39} = -42.3642737086586$$
$$x_{40} = -51.7976574095537$$
$$x_{41} = -48.6535676048409$$
$$x_{42} = -54.9414610202918$$
$$x_{43} = 51.7976574095537$$
$$x_{44} = -98.9399529307048$$
$$x_{45} = -67.5146145048817$$
$$x_{46} = 36.0728437679879$$
$$x_{47} = -39.218890250481$$
$$x_{48} = 20.3217772482235$$
$$x_{49} = -45.5091321154553$$
$$x_{50} = -32.9259431758392$$
$$x_{51} = -58.085025007445$$
$$x_{52} = 98.9399529307048$$
$$x_{53} = 45.5091321154553$$
$$x_{54} = 67.5146145048817$$
$$x_{55} = 92.655396245836$$
$$x_{56} = -36.0728437679879$$
$$x_{57} = 80.0856368040887$$
$$x_{58} = 86.370639887736$$
$$x_{59} = 95.7976970894915$$
$$x_{60} = -89.5130456566371$$
$$x_{61} = -17.1619600917303$$
$$x_{62} = 64.3715747870554$$
$$x_{63} = 10.8095072981602$$
$$x_{64} = -76.9430238267933$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[95.7976970894915, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -271.740404503579\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -4.2222763997912$$
$$x_{2} = -10.8095072981602$$
$$x_{3} = 42.3642737086586$$
$$x_{4} = -64.3715747870554$$
$$x_{5} = -13.9937625671267$$
$$x_{6} = 76.9430238267933$$
$$x_{7} = -7.5873993379941$$
$$x_{8} = 48.6535676048409$$
$$x_{9} = -80.0856368040887$$
$$x_{10} = 23.4766510546492$$
$$x_{11} = 89.5130456566371$$
$$x_{12} = 4.2222763997912$$
$$x_{13} = 73.8003238908837$$
$$x_{14} = -23.4766510546492$$
$$x_{15} = -86.370639887736$$
$$x_{16} = 58.085025007445$$
$$x_{17} = -20.3217772482235$$
$$x_{18} = -92.655396245836$$
$$x_{19} = 54.9414610202918$$
$$x_{20} = 29.7779159141436$$
$$x_{21} = 230.898398112111$$
$$x_{22} = 17.1619600917303$$
$$x_{23} = 32.9259431758392$$
$$x_{24} = -83.2281726832512$$
$$x_{25} = -73.8003238908837$$
$$x_{26} = 26.6283591640252$$
$$x_{27} = -271.740404503579$$
$$x_{28} = -61.2283863503723$$
$$x_{29} = 70.6575253785884$$
$$x_{30} = -95.7976970894915$$
$$x_{31} = 61.2283863503723$$
$$x_{32} = 83.2281726832512$$
$$x_{33} = 7.5873993379941$$
$$x_{34} = 39.218890250481$$
$$x_{35} = -26.6283591640252$$
$$x_{36} = 13.9937625671267$$
$$x_{37} = -29.7779159141436$$
$$x_{38} = -70.6575253785884$$
$$x_{39} = -42.3642737086586$$
$$x_{40} = -51.7976574095537$$
$$x_{41} = -48.6535676048409$$
$$x_{42} = -54.9414610202918$$
$$x_{43} = 51.7976574095537$$
$$x_{44} = -98.9399529307048$$
$$x_{45} = -67.5146145048817$$
$$x_{46} = 36.0728437679879$$
$$x_{47} = -39.218890250481$$
$$x_{48} = 20.3217772482235$$
$$x_{49} = -45.5091321154553$$
$$x_{50} = -32.9259431758392$$
$$x_{51} = -58.085025007445$$
$$x_{52} = 98.9399529307048$$
$$x_{53} = 45.5091321154553$$
$$x_{54} = 67.5146145048817$$
$$x_{55} = 92.655396245836$$
$$x_{56} = -36.0728437679879$$
$$x_{57} = 80.0856368040887$$
$$x_{58} = 86.370639887736$$
$$x_{59} = 95.7976970894915$$
$$x_{60} = -89.5130456566371$$
$$x_{61} = -17.1619600917303$$
$$x_{62} = 64.3715747870554$$
$$x_{63} = 10.8095072981602$$
$$x_{64} = -76.9430238267933$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[95.7976970894915, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -271.740404503579\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar