Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -97.3482884639088$$
$$x_{2} = -62.8318530717959$$
$$x_{3} = -72.2012444887512$$
$$x_{4} = 87.9645943005142$$
$$x_{5} = -56.5486677646163$$
$$x_{6} = 84.7758271362638$$
$$x_{7} = 69.1150383789755$$
$$x_{8} = -47.038904997378$$
$$x_{9} = 31.4159265358979$$
$$x_{10} = -37.6991118430775$$
$$x_{11} = -81.6814089933346$$
$$x_{12} = -103.633964974559$$
$$x_{13} = 245.044226980004$$
$$x_{14} = 169.646003293849$$
$$x_{15} = -12.5663706143592$$
$$x_{16} = 34.4415105438615$$
$$x_{17} = 12.5663706143592$$
$$x_{18} = -87.9645943005142$$
$$x_{19} = 21.8082433188578$$
$$x_{20} = 72.2012444887512$$
$$x_{21} = -100.530964914873$$
$$x_{22} = -40.7426059185751$$
$$x_{23} = -78.4888647223284$$
$$x_{24} = 91.0622680279826$$
$$x_{25} = -21.8082433188578$$
$$x_{26} = -94.2477796076938$$
$$x_{27} = 6.28318530717959$$
$$x_{28} = -34.4415105438615$$
$$x_{29} = -15.4505036738754$$
$$x_{30} = 78.4888647223284$$
$$x_{31} = -69.1150383789755$$
$$x_{32} = -50.2654824574367$$
$$x_{33} = -25.1327412287183$$
$$x_{34} = -18.8495559215388$$
$$x_{35} = 18.8495559215388$$
$$x_{36} = 37.6991118430775$$
$$x_{37} = -43.9822971502571$$
$$x_{38} = -6.28318530717959$$
$$x_{39} = 40.7426059185751$$
$$x_{40} = 15.4505036738754$$
$$x_{41} = -719.419157645404$$
$$x_{42} = 43.9822971502571$$
$$x_{43} = -8.98681891581813$$
$$x_{44} = 56.5486677646163$$
$$x_{45} = 8.98681891581813$$
$$x_{46} = 172.764444069457$$
$$x_{47} = -59.6231975817859$$
$$x_{48} = 25.1327412287183$$
$$x_{49} = 59.6231975817859$$
$$x_{50} = -28.1323878256629$$
$$x_{51} = 97.3482884639088$$
$$x_{52} = 125.663706143592$$
$$x_{53} = 47.038904997378$$
$$x_{54} = 81.6814089933346$$
$$x_{55} = 28.1323878256629$$
$$x_{56} = -84.7758271362638$$
$$x_{57} = 100.530964914873$$
$$x_{58} = 75.398223686155$$
$$x_{59} = -53.3321085176254$$
$$x_{60} = -197.900125648664$$
$$x_{61} = 53.3321085176254$$
$$x_{62} = -75.398223686155$$
$$x_{63} = -31.4159265358979$$
$$x_{64} = 62.8318530717959$$
$$x_{65} = 50.2654824574367$$
$$x_{66} = 65.912778079645$$
$$x_{67} = 94.2477796076938$$
$$x_{68} = -65.912778079645$$
$$x_{69} = -91.0622680279826$$
Signos de extremos en los puntos:
(-97.34828846390877, 0.000210955126120699)
(-62.83185307179586, 0)
(-72.20124448875121, 0.000383360637454652)
(87.96459430051421, 0)
(-56.548667764616276, 0)
(84.77582713626384, 0.000278127721683679)
(69.11503837897546, 0)
(-47.03890499737801, 0.000902258929282338)
(31.41592653589793, 0)
(-37.69911184307752, 0)
(-81.68140899333463, 0)
(-103.63396497455933, 0.000186150432117959)
(245.04422698000388, 0)
(169.64600329384882, 0)
(-12.566370614359172, 0)
(34.44151054386154, 0.00168036493363077)
(12.566370614359172, 0)
(-87.96459430051421, 0)
(21.808243318857798, 0.00417014633533631)
(72.20124448875121, 0.000383360637454652)
(-100.53096491487338, 0)
(-40.74260591857512, 0.00120195201548074)
(-78.48886472232839, 0.000324438216936361)
(91.06226802798255, 0.00024107025574655)
(-21.808243318857798, 0.00417014633533631)
(-94.2477796076938, 0)
(6.283185307179586, 0)
(-34.44151054386154, 0.00168036493363077)
(-15.450503673875414, 0.00824001299648697)
(78.48886472232839, 0.000324438216936361)
(-69.11503837897546, 0)
(-50.26548245743669, 0)
(-25.132741228718345, 0)
(-18.84955592153876, 0)
(18.84955592153876, 0)
(37.69911184307752, 0)
(-43.982297150257104, 0)
(-6.283185307179586, 0)
(40.74260591857512, 0.00120195201548074)
(15.450503673875414, 0.00824001299648697)
(-719.4191576454039, 3.86422710095088e-6)
(43.982297150257104, 0)
(-8.986818915818128, 0.0235952246129056)
(56.548667764616276, 0)
(8.986818915818128, 0.0235952246129056)
(172.76444406945743, 6.69981890382762e-5)
(-59.62319758178592, 0.000561967339101509)
(25.132741228718345, 0)
(59.62319758178592, 0.000561967339101509)
(-28.132387825662946, 0.00251435936561617)
(97.34828846390877, 0.000210955126120699)
(125.66370614359172, 0)
(47.03890499737801, 0.000902258929282338)
(81.68140899333463, 0)
(28.132387825662946, 0.00251435936561617)
(-84.77582713626384, 0.000278127721683679)
(100.53096491487338, 0)
(75.39822368615503, 0)
(-53.33210851762535, 0.000702169824387774)
(-197.90012564866376, 5.10614921724493e-5)
(53.33210851762535, 0.000702169824387774)
(-75.39822368615503, 0)
(-31.41592653589793, 0)
(62.83185307179586, 0)
(50.26548245743669, 0)
(65.91277807964495, 0.000459929312424257)
(94.2477796076938, 0)
(-65.91277807964495, 0.000459929312424257)
(-91.06226802798255, 0.00024107025574655)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -62.8318530717959$$
$$x_{2} = 87.9645943005142$$
$$x_{3} = -56.5486677646163$$
$$x_{4} = 69.1150383789755$$
$$x_{5} = 31.4159265358979$$
$$x_{6} = -37.6991118430775$$
$$x_{7} = -81.6814089933346$$
$$x_{8} = 245.044226980004$$
$$x_{9} = 169.646003293849$$
$$x_{10} = -12.5663706143592$$
$$x_{11} = 12.5663706143592$$
$$x_{12} = -87.9645943005142$$
$$x_{13} = -100.530964914873$$
$$x_{14} = -94.2477796076938$$
$$x_{15} = 6.28318530717959$$
$$x_{16} = -69.1150383789755$$
$$x_{17} = -50.2654824574367$$
$$x_{18} = -25.1327412287183$$
$$x_{19} = -18.8495559215388$$
$$x_{20} = 18.8495559215388$$
$$x_{21} = 37.6991118430775$$
$$x_{22} = -43.9822971502571$$
$$x_{23} = -6.28318530717959$$
$$x_{24} = 43.9822971502571$$
$$x_{25} = 56.5486677646163$$
$$x_{26} = 25.1327412287183$$
$$x_{27} = 125.663706143592$$
$$x_{28} = 81.6814089933346$$
$$x_{29} = 100.530964914873$$
$$x_{30} = 75.398223686155$$
$$x_{31} = -75.398223686155$$
$$x_{32} = -31.4159265358979$$
$$x_{33} = 62.8318530717959$$
$$x_{34} = 50.2654824574367$$
$$x_{35} = 94.2477796076938$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{35} = -97.3482884639088$$
$$x_{35} = -72.2012444887512$$
$$x_{35} = 84.7758271362638$$
$$x_{35} = -47.038904997378$$
$$x_{35} = -103.633964974559$$
$$x_{35} = 34.4415105438615$$
$$x_{35} = 21.8082433188578$$
$$x_{35} = 72.2012444887512$$
$$x_{35} = -40.7426059185751$$
$$x_{35} = -78.4888647223284$$
$$x_{35} = 91.0622680279826$$
$$x_{35} = -21.8082433188578$$
$$x_{35} = -34.4415105438615$$
$$x_{35} = -15.4505036738754$$
$$x_{35} = 78.4888647223284$$
$$x_{35} = 40.7426059185751$$
$$x_{35} = 15.4505036738754$$
$$x_{35} = -719.419157645404$$
$$x_{35} = -8.98681891581813$$
$$x_{35} = 8.98681891581813$$
$$x_{35} = 172.764444069457$$
$$x_{35} = -59.6231975817859$$
$$x_{35} = 59.6231975817859$$
$$x_{35} = -28.1323878256629$$
$$x_{35} = 97.3482884639088$$
$$x_{35} = 47.038904997378$$
$$x_{35} = 28.1323878256629$$
$$x_{35} = -84.7758271362638$$
$$x_{35} = -53.3321085176254$$
$$x_{35} = -197.900125648664$$
$$x_{35} = 53.3321085176254$$
$$x_{35} = 65.912778079645$$
$$x_{35} = -65.912778079645$$
$$x_{35} = -91.0622680279826$$
Decrece en los intervalos
$$\left[245.044226980004, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -100.530964914873\right]$$