Sr Examen

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cos(z)
Trazado el gráfico de la función/ cos(z)

Gráfico de la función y = cos(z)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(z) = cos(z)
f(z)=cos⁡(z)f{\left(z \right)} = \cos{\left(z \right)} 
f = cos(z)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Z con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(z)=0\cos{\left(z \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Z:

Solución analítica
z1=π2z_{1} = \frac{\pi}{2}
z2=3π2z_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
z1=32.9867228626928z_{1} = 32.9867228626928
z2=73.8274273593601z_{2} = 73.8274273593601
z3=4.71238898038469z_{3} = 4.71238898038469
z4=39.2699081698724z_{4} = 39.2699081698724
z5=95.8185759344887z_{5} = 95.8185759344887
z6=45.553093477052z_{6} = 45.553093477052
z7=70.6858347057703z_{7} = 70.6858347057703
z8=−10.9955742875643z_{8} = -10.9955742875643
z9=−58.1194640914112z_{9} = -58.1194640914112
z10=−23.5619449019235z_{10} = -23.5619449019235
z11=26.7035375555132z_{11} = 26.7035375555132
z12=−26.7035375555132z_{12} = -26.7035375555132
z13=−89.5353906273091z_{13} = -89.5353906273091
z14=−387.986692718339z_{14} = -387.986692718339
z15=−17.2787595947439z_{15} = -17.2787595947439
z16=−42.4115008234622z_{16} = -42.4115008234622
z17=−61.261056745001z_{17} = -61.261056745001
z18=92.6769832808989z_{18} = 92.6769832808989
z19=−76.9690200129499z_{19} = -76.9690200129499
z20=−92.6769832808989z_{20} = -92.6769832808989
z21=−98.9601685880785z_{21} = -98.9601685880785
z22=61.261056745001z_{22} = 61.261056745001
z23=−54.9778714378214z_{23} = -54.9778714378214
z24=42.4115008234622z_{24} = 42.4115008234622
z25=−64.4026493985908z_{25} = -64.4026493985908
z26=67.5442420521806z_{26} = 67.5442420521806
z27=−7.85398163397448z_{27} = -7.85398163397448
z28=80.1106126665397z_{28} = 80.1106126665397
z29=−14.1371669411541z_{29} = -14.1371669411541
z30=14.1371669411541z_{30} = 14.1371669411541
z31=−1.5707963267949z_{31} = -1.5707963267949
z32=1.5707963267949z_{32} = 1.5707963267949
z33=29.845130209103z_{33} = 29.845130209103
z34=10.9955742875643z_{34} = 10.9955742875643
z35=17.2787595947439z_{35} = 17.2787595947439
z36=−51.8362787842316z_{36} = -51.8362787842316
z37=−29.845130209103z_{37} = -29.845130209103
z38=−48.6946861306418z_{38} = -48.6946861306418
z39=−73.8274273593601z_{39} = -73.8274273593601
z40=23.5619449019235z_{40} = 23.5619449019235
z41=20.4203522483337z_{41} = 20.4203522483337
z42=−86.3937979737193z_{42} = -86.3937979737193
z43=54.9778714378214z_{43} = 54.9778714378214
z44=−168.075206967054z_{44} = -168.075206967054
z45=58.1194640914112z_{45} = 58.1194640914112
z46=51.8362787842316z_{46} = 51.8362787842316
z47=−67.5442420521806z_{47} = -67.5442420521806
z48=−4.71238898038469z_{48} = -4.71238898038469
z49=−45.553093477052z_{49} = -45.553093477052
z50=−70.6858347057703z_{50} = -70.6858347057703
z51=−2266.65909956504z_{51} = -2266.65909956504
z52=48.6946861306418z_{52} = 48.6946861306418
z53=−83.2522053201295z_{53} = -83.2522053201295
z54=−95.8185759344887z_{54} = -95.8185759344887
z55=89.5353906273091z_{55} = 89.5353906273091
z56=−39.2699081698724z_{56} = -39.2699081698724
z57=76.9690200129499z_{57} = 76.9690200129499
z58=−32.9867228626928z_{58} = -32.9867228626928
z59=−20.4203522483337z_{59} = -20.4203522483337
z60=−36.1283155162826z_{60} = -36.1283155162826
z61=7.85398163397448z_{61} = 7.85398163397448
z62=−80.1106126665397z_{62} = -80.1106126665397
z63=86.3937979737193z_{63} = 86.3937979737193
z64=98.9601685880785z_{64} = 98.9601685880785
z65=36.1283155162826z_{65} = 36.1283155162826
z66=64.4026493985908z_{66} = 64.4026493985908
z67=83.2522053201295z_{67} = 83.2522053201295
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando z es igual a 0:
sustituimos z = 0 en cos(z).
cos⁡(0)\cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddzf(z)=0\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddzf(z)=\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} =
primera derivada
−sin⁡(z)=0- \sin{\left(z \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
z1=0z_{1} = 0
z2=πz_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

(pi, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
z1=πz_{1} = \pi
Puntos máximos de la función:
z1=0z_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dz2f(z)=0\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dz2f(z)=\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(z)=0- \cos{\left(z \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
z1=π2z_{1} = \frac{\pi}{2}
z2=3π2z_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con z->+oo y z->-oo
lim⁡z→−∞cos⁡(z)=⟨−1,1⟩\lim_{z \to -\infty} \cos{\left(z \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡z→∞cos⁡(z)=⟨−1,1⟩\lim_{z \to \infty} \cos{\left(z \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(z), dividida por z con z->+oo y z ->-oo
lim⁡z→−∞(cos⁡(z)z)=0\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(z \right)}}{z}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡z→∞(cos⁡(z)z)=0\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(z \right)}}{z}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-z) и f = -f(-z).
Pues, comprobamos:
cos⁡(z)=cos⁡(z)\cos{\left(z \right)} = \cos{\left(z \right)}
- Sí
cos⁡(z)=−cos⁡(z)\cos{\left(z \right)} = - \cos{\left(z \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(z)
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