Sr Examen

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cos(y)
Trazado el gráfico de la función/ cos(y)

Gráfico de la función y = cos(y)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(y) = cos(y)
f(y)=cos⁡(y)f{\left(y \right)} = \cos{\left(y \right)} 
f = cos(y)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Y con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(y)=0\cos{\left(y \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:

Solución analítica
y1=π2y_{1} = \frac{\pi}{2}
y2=3π2y_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
y1=32.9867228626928y_{1} = 32.9867228626928
y2=73.8274273593601y_{2} = 73.8274273593601
y3=4.71238898038469y_{3} = 4.71238898038469
y4=39.2699081698724y_{4} = 39.2699081698724
y5=95.8185759344887y_{5} = 95.8185759344887
y6=45.553093477052y_{6} = 45.553093477052
y7=70.6858347057703y_{7} = 70.6858347057703
y8=−10.9955742875643y_{8} = -10.9955742875643
y9=−58.1194640914112y_{9} = -58.1194640914112
y10=−23.5619449019235y_{10} = -23.5619449019235
y11=26.7035375555132y_{11} = 26.7035375555132
y12=−26.7035375555132y_{12} = -26.7035375555132
y13=−89.5353906273091y_{13} = -89.5353906273091
y14=−387.986692718339y_{14} = -387.986692718339
y15=−17.2787595947439y_{15} = -17.2787595947439
y16=−42.4115008234622y_{16} = -42.4115008234622
y17=−61.261056745001y_{17} = -61.261056745001
y18=92.6769832808989y_{18} = 92.6769832808989
y19=−76.9690200129499y_{19} = -76.9690200129499
y20=−92.6769832808989y_{20} = -92.6769832808989
y21=−98.9601685880785y_{21} = -98.9601685880785
y22=61.261056745001y_{22} = 61.261056745001
y23=−54.9778714378214y_{23} = -54.9778714378214
y24=42.4115008234622y_{24} = 42.4115008234622
y25=−64.4026493985908y_{25} = -64.4026493985908
y26=67.5442420521806y_{26} = 67.5442420521806
y27=−7.85398163397448y_{27} = -7.85398163397448
y28=80.1106126665397y_{28} = 80.1106126665397
y29=−14.1371669411541y_{29} = -14.1371669411541
y30=14.1371669411541y_{30} = 14.1371669411541
y31=−1.5707963267949y_{31} = -1.5707963267949
y32=1.5707963267949y_{32} = 1.5707963267949
y33=29.845130209103y_{33} = 29.845130209103
y34=10.9955742875643y_{34} = 10.9955742875643
y35=17.2787595947439y_{35} = 17.2787595947439
y36=−51.8362787842316y_{36} = -51.8362787842316
y37=−29.845130209103y_{37} = -29.845130209103
y38=−48.6946861306418y_{38} = -48.6946861306418
y39=−73.8274273593601y_{39} = -73.8274273593601
y40=23.5619449019235y_{40} = 23.5619449019235
y41=20.4203522483337y_{41} = 20.4203522483337
y42=−86.3937979737193y_{42} = -86.3937979737193
y43=54.9778714378214y_{43} = 54.9778714378214
y44=−168.075206967054y_{44} = -168.075206967054
y45=58.1194640914112y_{45} = 58.1194640914112
y46=51.8362787842316y_{46} = 51.8362787842316
y47=−67.5442420521806y_{47} = -67.5442420521806
y48=−4.71238898038469y_{48} = -4.71238898038469
y49=−45.553093477052y_{49} = -45.553093477052
y50=−70.6858347057703y_{50} = -70.6858347057703
y51=−2266.65909956504y_{51} = -2266.65909956504
y52=48.6946861306418y_{52} = 48.6946861306418
y53=−83.2522053201295y_{53} = -83.2522053201295
y54=−95.8185759344887y_{54} = -95.8185759344887
y55=89.5353906273091y_{55} = 89.5353906273091
y56=−39.2699081698724y_{56} = -39.2699081698724
y57=76.9690200129499y_{57} = 76.9690200129499
y58=−32.9867228626928y_{58} = -32.9867228626928
y59=−20.4203522483337y_{59} = -20.4203522483337
y60=−36.1283155162826y_{60} = -36.1283155162826
y61=7.85398163397448y_{61} = 7.85398163397448
y62=−80.1106126665397y_{62} = -80.1106126665397
y63=86.3937979737193y_{63} = 86.3937979737193
y64=98.9601685880785y_{64} = 98.9601685880785
y65=36.1283155162826y_{65} = 36.1283155162826
y66=64.4026493985908y_{66} = 64.4026493985908
y67=83.2522053201295y_{67} = 83.2522053201295
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando y es igual a 0:
sustituimos y = 0 en cos(y).
cos⁡(0)\cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddyf(y)=0\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddyf(y)=\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} =
primera derivada
−sin⁡(y)=0- \sin{\left(y \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
y1=0y_{1} = 0
y2=πy_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

(pi, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
y1=πy_{1} = \pi
Puntos máximos de la función:
y1=0y_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dy2f(y)=0\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dy2f(y)=\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(y)=0- \cos{\left(y \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
y1=π2y_{1} = \frac{\pi}{2}
y2=3π2y_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con y->+oo y y->-oo
lim⁡y→−∞cos⁡(y)=⟨−1,1⟩\lim_{y \to -\infty} \cos{\left(y \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡y→∞cos⁡(y)=⟨−1,1⟩\lim_{y \to \infty} \cos{\left(y \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(y), dividida por y con y->+oo y y ->-oo
lim⁡y→−∞(cos⁡(y)y)=0\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(y \right)}}{y}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡y→∞(cos⁡(y)y)=0\lim_{y \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(y \right)}}{y}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-y) и f = -f(-y).
Pues, comprobamos:
cos⁡(y)=cos⁡(y)\cos{\left(y \right)} = \cos{\left(y \right)}
- Sí
cos⁡(y)=−cos⁡(y)\cos{\left(y \right)} = - \cos{\left(y \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(y)
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