Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ 1-cosz/(z*(z-1))

Gráfico de la función y = 1-cosz/(z*(z-1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             cos(z) 
f(z) = 1 - ---------
           z*(z - 1)
f(z)=1−cos⁡(z)z(z−1)f{\left(z \right)} = 1 - \frac{\cos{\left(z \right)}}{z \left(z - 1\right)} 
f = 1 - cos(z)/(z*(z - 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
z1=0z_{1} = 0
z2=1z_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Z con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1−cos⁡(z)z(z−1)=01 - \frac{\cos{\left(z \right)}}{z \left(z - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje Z
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando z es igual a 0:
sustituimos z = 0 en 1 - cos(z)/(z*(z - 1)).
−cos⁡(0)(−1)0+1- \frac{\cos{\left(0 \right)}}{\left(-1\right) 0} + 1
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddzf(z)=0\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddzf(z)=\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} =
primera derivada
1z(z−1)sin⁡(z)−(1−2z)cos⁡(z)z2(z−1)2=0\frac{1}{z \left(z - 1\right)} \sin{\left(z \right)} - \frac{\left(1 - 2 z\right) \cos{\left(z \right)}}{z^{2} \left(z - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dz2f(z)=0\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dz2f(z)=\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} =
segunda derivada
−(1z−1+1z)sin⁡(z)+cos⁡(z)−(2z−1)sin⁡(z)z(z−1)+2cos⁡(z)z(z−1)−2(2z−1)cos⁡(z)z(z−1)2−2(2z−1)cos⁡(z)z2(z−1)z(z−1)=0\frac{- \left(\frac{1}{z - 1} + \frac{1}{z}\right) \sin{\left(z \right)} + \cos{\left(z \right)} - \frac{\left(2 z - 1\right) \sin{\left(z \right)}}{z \left(z - 1\right)} + \frac{2 \cos{\left(z \right)}}{z \left(z - 1\right)} - \frac{2 \left(2 z - 1\right) \cos{\left(z \right)}}{z \left(z - 1\right)^{2}} - \frac{2 \left(2 z - 1\right) \cos{\left(z \right)}}{z^{2} \left(z - 1\right)}}{z \left(z - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
z1=−73.7735634613355z_{1} = -73.7735634613355
z2=26.5497805529484z_{2} = 26.5497805529484
z3=64.3399786725715z_{3} = 64.3399786725715
z4=29.7080359002561z_{4} = 29.7080359002561
z5=10.5961128892338z_{5} = 10.5961128892338
z6=−58.0511295101695z_{6} = -58.0511295101695
z7=95.7765886676923z_{7} = 95.7765886676923
z8=58.0499400526036z_{8} = 58.0499400526036
z9=54.9043251661795z_{9} = 54.9043251661795
z10=−17.0501819888326z_{10} = -17.0501819888326
z11=−70.6295891466443z_{11} = -70.6295891466443
z12=−83.2044118692333z_{12} = -83.2044118692333
z13=42.3157932802559z_{13} = 42.3157932802559
z14=−42.3180357527722z_{14} = -42.3180357527722
z15=−54.9056551425221z_{15} = -54.9056551425221
z16=98.9195224021387z_{16} = 98.9195224021387
z17=−13.8573762081368z_{17} = -13.8573762081368
z18=13.8357484426428z_{18} = 13.8357484426428
z19=89.4904367799601z_{19} = 89.4904367799601
z20=−61.1962073592828z_{20} = -61.1962073592828
z21=−3.74269333202927z_{21} = -3.74269333202927
z22=−26.5555103582434z_{22} = -26.5555103582434
z23=−664.440830648932z_{23} = -664.440830648932
z24=83.203833494571z_{24} = 83.203833494571
z25=70.6287861741731z_{25} = 70.6287861741731
z26=48.6115131429435z_{26} = 48.6115131429435
z27=3.22245492895961z_{27} = 3.22245492895961
z28=−76.9173441131405z_{28} = -76.9173441131405
z29=51.7582153745922z_{29} = 51.7582153745922
z30=36.0156076750442z_{30} = 36.0156076750442
z31=−98.9199314788638z_{31} = -98.9199314788638
z32=67.4845145811825z_{32} = 67.4845145811825
z33=17.0360783571991z_{33} = 17.0360783571991
z34=−95.7770250534755z_{34} = -95.7770250534755
z35=−39.1690153815412z_{35} = -39.1690153815412
z36=−92.6340298908745z_{36} = -92.6340298908745
z37=−29.7126034038903z_{37} = -29.7126034038903
z38=−64.3409465615048z_{38} = -64.3409465615048
z39=−7.33700145962957z_{39} = -7.33700145962957
z40=61.1951372459564z_{40} = 61.1951372459564
z41=45.4640934391097z_{41} = 45.4640934391097
z42=−51.7597123769465z_{42} = -51.7597123769465
z43=−86.3477347620627z_{43} = -86.3477347620627
z44=−10.6338325169388z_{44} = -10.6338325169388
z45=20.2170137948893z_{45} = 20.2170137948893
z46=−48.6132108060855z_{46} = -48.6132108060855
z47=73.7728275574363z_{47} = 73.7728275574363
z48=−89.4909366807036z_{48} = -89.4909366807036
z49=−183.761461365779z_{49} = -183.761461365779
z50=92.6335633655438z_{50} = 92.6335633655438
z51=−80.0609538176612z_{51} = -80.0609538176612
z52=−45.466035099043z_{52} = -45.466035099043
z53=−36.0187078039572z_{53} = -36.0187078039572
z54=−20.2269632150095z_{54} = -20.2269632150095
z55=−32.8667450697016z_{55} = -32.8667450697016
z56=32.863017691483z_{56} = 32.863017691483
z57=76.9166672063495z_{57} = 76.9166672063495
z58=7.25180774495468z_{58} = 7.25180774495468
z59=23.3868712872949z_{59} = 23.3868712872949
z60=−636.166229610899z_{60} = -636.166229610899
z61=86.3471977693559z_{61} = 86.3471977693559
z62=39.1663961017082z_{62} = 39.1663961017082
z63=−23.394275987796z_{63} = -23.394275987796
z64=80.0603290824966z_{64} = 80.0603290824966
z65=−67.4853942378642z_{65} = -67.4853942378642
z66=177.477382508355z_{66} = 177.477382508355
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
z1=0z_{1} = 0
z2=1z_{2} = 1

lim⁡z→0−(−(1z−1+1z)sin⁡(z)+cos⁡(z)−(2z−1)sin⁡(z)z(z−1)+2cos⁡(z)z(z−1)−2(2z−1)cos⁡(z)z(z−1)2−2(2z−1)cos⁡(z)z2(z−1)z(z−1))=−∞\lim_{z \to 0^-}\left(\frac{- \left(\frac{1}{z - 1} + \frac{1}{z}\right) \sin{\left(z \right)} + \cos{\left(z \right)} - \frac{\left(2 z - 1\right) \sin{\left(z \right)}}{z \left(z - 1\right)} + \frac{2 \cos{\left(z \right)}}{z \left(z - 1\right)} - \frac{2 \left(2 z - 1\right) \cos{\left(z \right)}}{z \left(z - 1\right)^{2}} - \frac{2 \left(2 z - 1\right) \cos{\left(z \right)}}{z^{2} \left(z - 1\right)}}{z \left(z - 1\right)}\right) = -\infty
lim⁡z→0+(−(1z−1+1z)sin⁡(z)+cos⁡(z)−(2z−1)sin⁡(z)z(z−1)+2cos⁡(z)z(z−1)−2(2z−1)cos⁡(z)z(z−1)2−2(2z−1)cos⁡(z)z2(z−1)z(z−1))=∞\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{- \left(\frac{1}{z - 1} + \frac{1}{z}\right) \sin{\left(z \right)} + \cos{\left(z \right)} - \frac{\left(2 z - 1\right) \sin{\left(z \right)}}{z \left(z - 1\right)} + \frac{2 \cos{\left(z \right)}}{z \left(z - 1\right)} - \frac{2 \left(2 z - 1\right) \cos{\left(z \right)}}{z \left(z - 1\right)^{2}} - \frac{2 \left(2 z - 1\right) \cos{\left(z \right)}}{z^{2} \left(z - 1\right)}}{z \left(z - 1\right)}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
z1=0z_{1} = 0
- es el punto de flexión
lim⁡z→1−(−(1z−1+1z)sin⁡(z)+cos⁡(z)−(2z−1)sin⁡(z)z(z−1)+2cos⁡(z)z(z−1)−2(2z−1)cos⁡(z)z(z−1)2−2(2z−1)cos⁡(z)z2(z−1)z(z−1))=∞\lim_{z \to 1^-}\left(\frac{- \left(\frac{1}{z - 1} + \frac{1}{z}\right) \sin{\left(z \right)} + \cos{\left(z \right)} - \frac{\left(2 z - 1\right) \sin{\left(z \right)}}{z \left(z - 1\right)} + \frac{2 \cos{\left(z \right)}}{z \left(z - 1\right)} - \frac{2 \left(2 z - 1\right) \cos{\left(z \right)}}{z \left(z - 1\right)^{2}} - \frac{2 \left(2 z - 1\right) \cos{\left(z \right)}}{z^{2} \left(z - 1\right)}}{z \left(z - 1\right)}\right) = \infty
lim⁡z→1+(−(1z−1+1z)sin⁡(z)+cos⁡(z)−(2z−1)sin⁡(z)z(z−1)+2cos⁡(z)z(z−1)−2(2z−1)cos⁡(z)z(z−1)2−2(2z−1)cos⁡(z)z2(z−1)z(z−1))=−∞\lim_{z \to 1^+}\left(\frac{- \left(\frac{1}{z - 1} + \frac{1}{z}\right) \sin{\left(z \right)} + \cos{\left(z \right)} - \frac{\left(2 z - 1\right) \sin{\left(z \right)}}{z \left(z - 1\right)} + \frac{2 \cos{\left(z \right)}}{z \left(z - 1\right)} - \frac{2 \left(2 z - 1\right) \cos{\left(z \right)}}{z \left(z - 1\right)^{2}} - \frac{2 \left(2 z - 1\right) \cos{\left(z \right)}}{z^{2} \left(z - 1\right)}}{z \left(z - 1\right)}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
z2=1z_{2} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[98.9195224021387,∞)\left[98.9195224021387, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−636.166229610899]\left(-\infty, -636.166229610899\right]
Asíntotas verticales
Hay:
z1=0z_{1} = 0
z2=1z_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con z->+oo y z->-oo
lim⁡z→−∞(1−cos⁡(z)z(z−1))=1\lim_{z \to -\infty}\left(1 - \frac{\cos{\left(z \right)}}{z \left(z - 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡z→∞(1−cos⁡(z)z(z−1))=1\lim_{z \to \infty}\left(1 - \frac{\cos{\left(z \right)}}{z \left(z - 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 - cos(z)/(z*(z - 1)), dividida por z con z->+oo y z ->-oo
lim⁡z→−∞(1−cos⁡(z)z(z−1)z)=0\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{1 - \frac{\cos{\left(z \right)}}{z \left(z - 1\right)}}{z}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡z→∞(1−cos⁡(z)z(z−1)z)=0\lim_{z \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{\cos{\left(z \right)}}{z \left(z - 1\right)}}{z}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-z) и f = -f(-z).
Pues, comprobamos:
1−cos⁡(z)z(z−1)=1+cos⁡(z)z(−z−1)1 - \frac{\cos{\left(z \right)}}{z \left(z - 1\right)} = 1 + \frac{\cos{\left(z \right)}}{z \left(- z - 1\right)}
- No
1−cos⁡(z)z(z−1)=−1−cos⁡(z)z(−z−1)1 - \frac{\cos{\left(z \right)}}{z \left(z - 1\right)} = -1 - \frac{\cos{\left(z \right)}}{z \left(- z - 1\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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