Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/(1+x^2)
-
y^2+1
-
x/(x-1)
-
x/(x^2-1)
- Límite de la función:
-
(1-cos(x))/x
- Integral de d{x}:
- (1-cos(x))/x
-
Expresiones idénticas
- (uno -cos(x))/x
- (1 menos coseno de (x)) dividir por x
- (uno menos coseno de (x)) dividir por x
- 1-cosx/x
- (1-cos(x)) dividir por x
-
Expresiones semejantes
- (1+cos(x))/x
- (1-cosx)/x
- (1-cosx)/(x^2)
- (1-cos(x))/((x*x))
- (1-cosx)/x
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)-sin(x)
- cos(x+1)
- cos(x)+x
- cos(x)+2
- cosx+1/2sin2x
Gráfico de la función y = (1-cos(x))/x
Solución
Ha introducido
[src]
1 - cos(x)
f(x) = ----------
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}$$
f = (1 - cos(x))/x
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2 \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 94.2477796093523$$
$$x_{2} = -81.6814084756666$$
$$x_{3} = -81.6814090381737$$
$$x_{4} = -43.9822975863426$$
$$x_{5} = 31.4159260423149$$
$$x_{6} = -94.2477794446532$$
$$x_{7} = -43.9822971745099$$
$$x_{8} = 31.415926308189$$
$$x_{9} = -56.5486674648664$$
$$x_{10} = -31.4159259860225$$
$$x_{11} = -43.9822967286735$$
$$x_{12} = 18.8495570640723$$
$$x_{13} = -87.9645938977678$$
$$x_{14} = -62.8318534718064$$
$$x_{15} = -6.28318511522188$$
$$x_{16} = 31.4159268388313$$
$$x_{17} = 87.9645937941679$$
$$x_{18} = 87.9645943358739$$
$$x_{19} = -69.1150382719596$$
$$x_{20} = 414.69022329735$$
$$x_{21} = 100.530965066794$$
$$x_{22} = 37.6991120290429$$
$$x_{23} = 81.6814084733938$$
$$x_{24} = 75.3982232099398$$
$$x_{25} = -37.6991113050299$$
$$x_{26} = -257.610600184006$$
$$x_{27} = 62.8318534171363$$
$$x_{28} = -6.28318567459441$$
$$x_{29} = 94.2477792338511$$
$$x_{30} = 37.699111216894$$
$$x_{31} = 87.964594500812$$
$$x_{32} = -37.6991118771954$$
$$x_{33} = -94.2477801054162$$
$$x_{34} = 50.2654824463338$$
$$x_{35} = 18.8495556162397$$
$$x_{36} = 87.9645945664312$$
$$x_{37} = 6.2831855753381$$
$$x_{38} = -43.9822979138367$$
$$x_{39} = -25.1327415213295$$
$$x_{40} = -6.28318586323633$$
$$x_{41} = 62.8318535453352$$
$$x_{42} = -6.28318444067293$$
$$x_{43} = 6.2831852840235$$
$$x_{44} = -69.1150378944947$$
$$x_{45} = 31.4159260114669$$
$$x_{46} = 12.566370437228$$
$$x_{47} = 43.9822966284625$$
$$x_{48} = -12.566371038017$$
$$x_{49} = 12.5663702994139$$
$$x_{50} = -87.9645947491978$$
$$x_{51} = -69.1150386836456$$
$$x_{52} = 56.5486676001308$$
$$x_{53} = 69.1150379829339$$
$$x_{54} = -81.6814092106571$$
$$x_{55} = 100.530964759279$$
$$x_{56} = 43.9822971694463$$
$$x_{57} = 62.8318527817653$$
$$x_{58} = -12.5663710453539$$
$$x_{59} = -100.53096462403$$
$$x_{60} = 50.265482070609$$
$$x_{61} = 138.230076849674$$
$$x_{62} = -37.6991120342542$$
$$x_{63} = -31.4159256195136$$
$$x_{64} = 56.5486679086989$$
$$x_{65} = -75.3982238731219$$
$$x_{66} = 81.6814091886423$$
$$x_{67} = -75.3982231582427$$
$$x_{68} = 25.1327408158131$$
$$x_{69} = 6.28318444287659$$
$$x_{70} = -94.2477796479604$$
$$x_{71} = -1237.7874595289$$
$$x_{72} = -75.3982229197268$$
$$x_{73} = 25.1327416214209$$
$$x_{74} = 43.9822974012399$$
$$x_{75} = 75.3982239999848$$
$$x_{76} = 81.6814084412002$$
$$x_{77} = 50.2654829117362$$
$$x_{78} = 94.2477800713522$$
$$x_{79} = 12.5663710535352$$
$$x_{80} = -50.2654824779719$$
$$x_{81} = -31.4159267135067$$
$$x_{82} = -56.5486685316992$$
$$x_{83} = -56.5486682301784$$
$$x_{84} = -18.8495563014918$$
$$x_{85} = 18.8495563674798$$
$$x_{86} = -100.530965615463$$
$$x_{87} = -50.2654829455153$$
$$x_{88} = -12.5663702928087$$
$$x_{89} = 56.5486682620429$$
$$x_{90} = 69.1150387875051$$
$$x_{91} = -87.9645943585322$$
$$x_{92} = -25.1327407213372$$
$$x_{93} = -18.8495554933496$$
$$x_{94} = -50.2654822850339$$
$$x_{95} = 37.6991113062675$$
$$x_{96} = -62.8318526665123$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2 \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 94.2477796093523$$
$$x_{2} = -81.6814084756666$$
$$x_{3} = -81.6814090381737$$
$$x_{4} = -43.9822975863426$$
$$x_{5} = 31.4159260423149$$
$$x_{6} = -94.2477794446532$$
$$x_{7} = -43.9822971745099$$
$$x_{8} = 31.415926308189$$
$$x_{9} = -56.5486674648664$$
$$x_{10} = -31.4159259860225$$
$$x_{11} = -43.9822967286735$$
$$x_{12} = 18.8495570640723$$
$$x_{13} = -87.9645938977678$$
$$x_{14} = -62.8318534718064$$
$$x_{15} = -6.28318511522188$$
$$x_{16} = 31.4159268388313$$
$$x_{17} = 87.9645937941679$$
$$x_{18} = 87.9645943358739$$
$$x_{19} = -69.1150382719596$$
$$x_{20} = 414.69022329735$$
$$x_{21} = 100.530965066794$$
$$x_{22} = 37.6991120290429$$
$$x_{23} = 81.6814084733938$$
$$x_{24} = 75.3982232099398$$
$$x_{25} = -37.6991113050299$$
$$x_{26} = -257.610600184006$$
$$x_{27} = 62.8318534171363$$
$$x_{28} = -6.28318567459441$$
$$x_{29} = 94.2477792338511$$
$$x_{30} = 37.699111216894$$
$$x_{31} = 87.964594500812$$
$$x_{32} = -37.6991118771954$$
$$x_{33} = -94.2477801054162$$
$$x_{34} = 50.2654824463338$$
$$x_{35} = 18.8495556162397$$
$$x_{36} = 87.9645945664312$$
$$x_{37} = 6.2831855753381$$
$$x_{38} = -43.9822979138367$$
$$x_{39} = -25.1327415213295$$
$$x_{40} = -6.28318586323633$$
$$x_{41} = 62.8318535453352$$
$$x_{42} = -6.28318444067293$$
$$x_{43} = 6.2831852840235$$
$$x_{44} = -69.1150378944947$$
$$x_{45} = 31.4159260114669$$
$$x_{46} = 12.566370437228$$
$$x_{47} = 43.9822966284625$$
$$x_{48} = -12.566371038017$$
$$x_{49} = 12.5663702994139$$
$$x_{50} = -87.9645947491978$$
$$x_{51} = -69.1150386836456$$
$$x_{52} = 56.5486676001308$$
$$x_{53} = 69.1150379829339$$
$$x_{54} = -81.6814092106571$$
$$x_{55} = 100.530964759279$$
$$x_{56} = 43.9822971694463$$
$$x_{57} = 62.8318527817653$$
$$x_{58} = -12.5663710453539$$
$$x_{59} = -100.53096462403$$
$$x_{60} = 50.265482070609$$
$$x_{61} = 138.230076849674$$
$$x_{62} = -37.6991120342542$$
$$x_{63} = -31.4159256195136$$
$$x_{64} = 56.5486679086989$$
$$x_{65} = -75.3982238731219$$
$$x_{66} = 81.6814091886423$$
$$x_{67} = -75.3982231582427$$
$$x_{68} = 25.1327408158131$$
$$x_{69} = 6.28318444287659$$
$$x_{70} = -94.2477796479604$$
$$x_{71} = -1237.7874595289$$
$$x_{72} = -75.3982229197268$$
$$x_{73} = 25.1327416214209$$
$$x_{74} = 43.9822974012399$$
$$x_{75} = 75.3982239999848$$
$$x_{76} = 81.6814084412002$$
$$x_{77} = 50.2654829117362$$
$$x_{78} = 94.2477800713522$$
$$x_{79} = 12.5663710535352$$
$$x_{80} = -50.2654824779719$$
$$x_{81} = -31.4159267135067$$
$$x_{82} = -56.5486685316992$$
$$x_{83} = -56.5486682301784$$
$$x_{84} = -18.8495563014918$$
$$x_{85} = 18.8495563674798$$
$$x_{86} = -100.530965615463$$
$$x_{87} = -50.2654829455153$$
$$x_{88} = -12.5663702928087$$
$$x_{89} = 56.5486682620429$$
$$x_{90} = 69.1150387875051$$
$$x_{91} = -87.9645943585322$$
$$x_{92} = -25.1327407213372$$
$$x_{93} = -18.8495554933496$$
$$x_{94} = -50.2654822850339$$
$$x_{95} = 37.6991113062675$$
$$x_{96} = -62.8318526665123$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -62.8318530717959$$
$$x_{2} = 87.9645943005142$$
$$x_{3} = -78.5143446648172$$
$$x_{4} = 31.4159265358979$$
$$x_{5} = -56.5486677646163$$
$$x_{6} = 69.1150383789755$$
$$x_{7} = -21.8998872970823$$
$$x_{8} = -37.6991118430775$$
$$x_{9} = -81.6814089933346$$
$$x_{10} = 169.646003293849$$
$$x_{11} = -15.5797675022891$$
$$x_{12} = -59.656738426191$$
$$x_{13} = -12.5663706143592$$
$$x_{14} = -97.3688325296866$$
$$x_{15} = -87.9645943005142$$
$$x_{16} = 12.5663706143592$$
$$x_{17} = -100.530964914873$$
$$x_{18} = -1181.23883774976$$
$$x_{19} = -2.33112237041442$$
$$x_{20} = -40.7916847146183$$
$$x_{21} = 78.5143446648172$$
$$x_{22} = 40.7916847146183$$
$$x_{23} = -47.0814165846103$$
$$x_{24} = -84.7994176724893$$
$$x_{25} = -94.2477796076938$$
$$x_{26} = 6.28318530717959$$
$$x_{27} = -65.943118880897$$
$$x_{28} = -69.1150383789755$$
$$x_{29} = -53.3696049818501$$
$$x_{30} = 21.8998872970823$$
$$x_{31} = -50.2654824574367$$
$$x_{32} = -25.1327412287183$$
$$x_{33} = 18.8495559215388$$
$$x_{34} = -18.8495559215388$$
$$x_{35} = 59.656738426191$$
$$x_{36} = 37.6991118430775$$
$$x_{37} = -43.9822971502571$$
$$x_{38} = -6.28318530717959$$
$$x_{39} = -9.20843355440115$$
$$x_{40} = 65.943118880897$$
$$x_{41} = 91.0842301384618$$
$$x_{42} = 92394.2399420758$$
$$x_{43} = 43.9822971502571$$
$$x_{44} = 56.5486677646163$$
$$x_{45} = 34.4995636692158$$
$$x_{46} = 47.0814165846103$$
$$x_{47} = 25.1327412287183$$
$$x_{48} = 28.2034502671317$$
$$x_{49} = 75.398223686155$$
$$x_{50} = -91.0842301384618$$
$$x_{51} = 81.6814089933346$$
$$x_{52} = 2.33112237041442$$
$$x_{53} = -28.2034502671317$$
$$x_{54} = 100.530964914873$$
$$x_{55} = 72.2289430706097$$
$$x_{56} = -34.4995636692158$$
$$x_{57} = -75.398223686155$$
$$x_{58} = -31.4159265358979$$
$$x_{59} = 9.20843355440115$$
$$x_{60} = -103.653263067797$$
$$x_{61} = -72.2289430706097$$
$$x_{62} = 84.7994176724893$$
$$x_{63} = 15.5797675022891$$
$$x_{64} = 62.8318530717959$$
$$x_{65} = -307.8760800518$$
$$x_{66} = 50.2654824574367$$
$$x_{67} = 53.3696049818501$$
$$x_{68} = 94.2477796076938$$
$$x_{69} = 97.3688325296866$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 87.9645943005142$$
$$x_{2} = -78.5143446648172$$
$$x_{3} = 31.4159265358979$$
$$x_{4} = 69.1150383789755$$
$$x_{5} = -21.8998872970823$$
$$x_{6} = 169.646003293849$$
$$x_{7} = -15.5797675022891$$
$$x_{8} = -59.656738426191$$
$$x_{9} = -97.3688325296866$$
$$x_{10} = 12.5663706143592$$
$$x_{11} = -2.33112237041442$$
$$x_{12} = -40.7916847146183$$
$$x_{13} = -47.0814165846103$$
$$x_{14} = -84.7994176724893$$
$$x_{15} = 6.28318530717959$$
$$x_{16} = -65.943118880897$$
$$x_{17} = -53.3696049818501$$
$$x_{18} = 18.8495559215388$$
$$x_{19} = 37.6991118430775$$
$$x_{20} = -9.20843355440115$$
$$x_{21} = 92394.2399420758$$
$$x_{22} = 43.9822971502571$$
$$x_{23} = 56.5486677646163$$
$$x_{24} = 25.1327412287183$$
$$x_{25} = 75.398223686155$$
$$x_{26} = -91.0842301384618$$
$$x_{27} = 81.6814089933346$$
$$x_{28} = -28.2034502671317$$
$$x_{29} = 100.530964914873$$
$$x_{30} = -34.4995636692158$$
$$x_{31} = -103.653263067797$$
$$x_{32} = -72.2289430706097$$
$$x_{33} = 62.8318530717959$$
$$x_{34} = 50.2654824574367$$
$$x_{35} = 94.2477796076938$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{35} = -62.8318530717959$$
$$x_{35} = -56.5486677646163$$
$$x_{35} = -37.6991118430775$$
$$x_{35} = -81.6814089933346$$
$$x_{35} = -12.5663706143592$$
$$x_{35} = -87.9645943005142$$
$$x_{35} = -100.530964914873$$
$$x_{35} = -1181.23883774976$$
$$x_{35} = 78.5143446648172$$
$$x_{35} = 40.7916847146183$$
$$x_{35} = -94.2477796076938$$
$$x_{35} = -69.1150383789755$$
$$x_{35} = 21.8998872970823$$
$$x_{35} = -50.2654824574367$$
$$x_{35} = -25.1327412287183$$
$$x_{35} = -18.8495559215388$$
$$x_{35} = 59.656738426191$$
$$x_{35} = -43.9822971502571$$
$$x_{35} = -6.28318530717959$$
$$x_{35} = 65.943118880897$$
$$x_{35} = 91.0842301384618$$
$$x_{35} = 34.4995636692158$$
$$x_{35} = 47.0814165846103$$
$$x_{35} = 28.2034502671317$$
$$x_{35} = 2.33112237041442$$
$$x_{35} = 72.2289430706097$$
$$x_{35} = -75.398223686155$$
$$x_{35} = -31.4159265358979$$
$$x_{35} = 9.20843355440115$$
$$x_{35} = 84.7994176724893$$
$$x_{35} = 15.5797675022891$$
$$x_{35} = -307.8760800518$$
$$x_{35} = 53.3696049818501$$
$$x_{35} = 97.3688325296866$$
Decrece en los intervalos
$$\left[92394.2399420758, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -103.653263067797\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -62.8318530717959$$
$$x_{2} = 87.9645943005142$$
$$x_{3} = -78.5143446648172$$
$$x_{4} = 31.4159265358979$$
$$x_{5} = -56.5486677646163$$
$$x_{6} = 69.1150383789755$$
$$x_{7} = -21.8998872970823$$
$$x_{8} = -37.6991118430775$$
$$x_{9} = -81.6814089933346$$
$$x_{10} = 169.646003293849$$
$$x_{11} = -15.5797675022891$$
$$x_{12} = -59.656738426191$$
$$x_{13} = -12.5663706143592$$
$$x_{14} = -97.3688325296866$$
$$x_{15} = -87.9645943005142$$
$$x_{16} = 12.5663706143592$$
$$x_{17} = -100.530964914873$$
$$x_{18} = -1181.23883774976$$
$$x_{19} = -2.33112237041442$$
$$x_{20} = -40.7916847146183$$
$$x_{21} = 78.5143446648172$$
$$x_{22} = 40.7916847146183$$
$$x_{23} = -47.0814165846103$$
$$x_{24} = -84.7994176724893$$
$$x_{25} = -94.2477796076938$$
$$x_{26} = 6.28318530717959$$
$$x_{27} = -65.943118880897$$
$$x_{28} = -69.1150383789755$$
$$x_{29} = -53.3696049818501$$
$$x_{30} = 21.8998872970823$$
$$x_{31} = -50.2654824574367$$
$$x_{32} = -25.1327412287183$$
$$x_{33} = 18.8495559215388$$
$$x_{34} = -18.8495559215388$$
$$x_{35} = 59.656738426191$$
$$x_{36} = 37.6991118430775$$
$$x_{37} = -43.9822971502571$$
$$x_{38} = -6.28318530717959$$
$$x_{39} = -9.20843355440115$$
$$x_{40} = 65.943118880897$$
$$x_{41} = 91.0842301384618$$
$$x_{42} = 92394.2399420758$$
$$x_{43} = 43.9822971502571$$
$$x_{44} = 56.5486677646163$$
$$x_{45} = 34.4995636692158$$
$$x_{46} = 47.0814165846103$$
$$x_{47} = 25.1327412287183$$
$$x_{48} = 28.2034502671317$$
$$x_{49} = 75.398223686155$$
$$x_{50} = -91.0842301384618$$
$$x_{51} = 81.6814089933346$$
$$x_{52} = 2.33112237041442$$
$$x_{53} = -28.2034502671317$$
$$x_{54} = 100.530964914873$$
$$x_{55} = 72.2289430706097$$
$$x_{56} = -34.4995636692158$$
$$x_{57} = -75.398223686155$$
$$x_{58} = -31.4159265358979$$
$$x_{59} = 9.20843355440115$$
$$x_{60} = -103.653263067797$$
$$x_{61} = -72.2289430706097$$
$$x_{62} = 84.7994176724893$$
$$x_{63} = 15.5797675022891$$
$$x_{64} = 62.8318530717959$$
$$x_{65} = -307.8760800518$$
$$x_{66} = 50.2654824574367$$
$$x_{67} = 53.3696049818501$$
$$x_{68} = 94.2477796076938$$
$$x_{69} = 97.3688325296866$$
Signos de extremos en los puntos:
(-62.83185307179586, 0)
(87.96459430051421, 0)
(-78.51434466481717, -0.0254689206534694)
(31.41592653589793, 0)
(-56.548667764616276, 0)
(69.11503837897546, 0)
(-21.89988729708232, -0.0911346506917966)
(-37.69911184307752, 0)
(-81.68140899333463, 0)
(169.64600329384882, 0)
(-15.579767502289146, -0.127844922574794)
(-59.65673842619101, -0.0335157141235985)
(-12.566370614359172, 0)
(-97.36883252968656, -0.0205382874085413)
(-87.96459430051421, 0)
(12.566370614359172, 0)
(-100.53096491487338, 0)
(-1181.2388377497623, 0)
(-2.331122370414423, -0.724611353776708)
(-40.791684714618334, -0.0490001524829528)
(78.51434466481717, 0.0254689206534694)
(40.791684714618334, 0.0490001524829528)
(-47.0814165846103, -0.0424604502887016)
(-84.79941767248933, -0.0235817882463307)
(-94.2477796076938, 0)
(6.283185307179586, 0)
(-65.94311888089696, -0.0303221960142206)
(-69.11503837897546, 0)
(-53.36960498185014, -0.0374613617155508)
(21.89988729708232, 0.0911346506917966)
(-50.26548245743669, 0)
(-25.132741228718345, 0)
(18.84955592153876, 0)
(-18.84955592153876, 0)
(59.65673842619101, 0.0335157141235985)
(37.69911184307752, 0)
(-43.982297150257104, 0)
(-6.283185307179586, 0)
(-9.208433554401154, -0.214660688386019)
(65.94311888089696, 0.0303221960142206)
(91.0842301384618, 0.021955051448177)
(92394.23994207582, 0)
(43.982297150257104, 0)
(56.548667764616276, 0)
(34.49956366921579, 0.0579230818110724)
(47.0814165846103, 0.0424604502887016)
(25.132741228718345, 0)
(28.203450267131746, 0.0708242711210408)
(75.39822368615503, 0)
(-91.0842301384618, -0.021955051448177)
(81.68140899333463, 0)
(2.331122370414423, 0.724611353776708)
(-28.203450267131746, -0.0708242711210408)
(100.53096491487338, 0)
(72.2289430706097, 0.0276844243853039)
(-34.49956366921579, -0.0579230818110724)
(-75.39822368615503, 0)
(-31.41592653589793, 0)
(9.208433554401154, 0.214660688386019)
(-103.65326306779691, -0.0192933035363155)
(-72.2289430706097, -0.0276844243853039)
(84.79941767248933, 0.0235817882463307)
(15.579767502289146, 0.127844922574794)
(62.83185307179586, 0)
(-307.87608005179976, 0)
(50.26548245743669, 0)
(53.36960498185014, 0.0374613617155508)
(94.2477796076938, 0)
(97.36883252968656, 0.0205382874085413)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 87.9645943005142$$
$$x_{2} = -78.5143446648172$$
$$x_{3} = 31.4159265358979$$
$$x_{4} = 69.1150383789755$$
$$x_{5} = -21.8998872970823$$
$$x_{6} = 169.646003293849$$
$$x_{7} = -15.5797675022891$$
$$x_{8} = -59.656738426191$$
$$x_{9} = -97.3688325296866$$
$$x_{10} = 12.5663706143592$$
$$x_{11} = -2.33112237041442$$
$$x_{12} = -40.7916847146183$$
$$x_{13} = -47.0814165846103$$
$$x_{14} = -84.7994176724893$$
$$x_{15} = 6.28318530717959$$
$$x_{16} = -65.943118880897$$
$$x_{17} = -53.3696049818501$$
$$x_{18} = 18.8495559215388$$
$$x_{19} = 37.6991118430775$$
$$x_{20} = -9.20843355440115$$
$$x_{21} = 92394.2399420758$$
$$x_{22} = 43.9822971502571$$
$$x_{23} = 56.5486677646163$$
$$x_{24} = 25.1327412287183$$
$$x_{25} = 75.398223686155$$
$$x_{26} = -91.0842301384618$$
$$x_{27} = 81.6814089933346$$
$$x_{28} = -28.2034502671317$$
$$x_{29} = 100.530964914873$$
$$x_{30} = -34.4995636692158$$
$$x_{31} = -103.653263067797$$
$$x_{32} = -72.2289430706097$$
$$x_{33} = 62.8318530717959$$
$$x_{34} = 50.2654824574367$$
$$x_{35} = 94.2477796076938$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{35} = -62.8318530717959$$
$$x_{35} = -56.5486677646163$$
$$x_{35} = -37.6991118430775$$
$$x_{35} = -81.6814089933346$$
$$x_{35} = -12.5663706143592$$
$$x_{35} = -87.9645943005142$$
$$x_{35} = -100.530964914873$$
$$x_{35} = -1181.23883774976$$
$$x_{35} = 78.5143446648172$$
$$x_{35} = 40.7916847146183$$
$$x_{35} = -94.2477796076938$$
$$x_{35} = -69.1150383789755$$
$$x_{35} = 21.8998872970823$$
$$x_{35} = -50.2654824574367$$
$$x_{35} = -25.1327412287183$$
$$x_{35} = -18.8495559215388$$
$$x_{35} = 59.656738426191$$
$$x_{35} = -43.9822971502571$$
$$x_{35} = -6.28318530717959$$
$$x_{35} = 65.943118880897$$
$$x_{35} = 91.0842301384618$$
$$x_{35} = 34.4995636692158$$
$$x_{35} = 47.0814165846103$$
$$x_{35} = 28.2034502671317$$
$$x_{35} = 2.33112237041442$$
$$x_{35} = 72.2289430706097$$
$$x_{35} = -75.398223686155$$
$$x_{35} = -31.4159265358979$$
$$x_{35} = 9.20843355440115$$
$$x_{35} = 84.7994176724893$$
$$x_{35} = 15.5797675022891$$
$$x_{35} = -307.8760800518$$
$$x_{35} = 53.3696049818501$$
$$x_{35} = 97.3688325296866$$
Decrece en los intervalos
$$\left[92394.2399420758, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -103.653263067797\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}{x^{2}}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -61.2278525685536$$
$$x_{2} = -17.1551175692195$$
$$x_{3} = 14.0040665914265$$
$$x_{4} = 7.62307729555873$$
$$x_{5} = 83.2284614928992$$
$$x_{6} = 70.6579261366639$$
$$x_{7} = -67.5141755390553$$
$$x_{8} = -26.6311871536774$$
$$x_{9} = 32.927791200115$$
$$x_{10} = -39.220192145926$$
$$x_{11} = -76.943361762789$$
$$x_{12} = -83.2284614928992$$
$$x_{13} = -23.4730079186956$$
$$x_{14} = 17.1551175692195$$
$$x_{15} = 80.0853248723334$$
$$x_{16} = 92.6551632265069$$
$$x_{17} = -73.7999565431799$$
$$x_{18} = 61.2278525685536$$
$$x_{19} = -36.0713042845073$$
$$x_{20} = 39.220192145926$$
$$x_{21} = 36.0713042845073$$
$$x_{22} = -7.62307729555873$$
$$x_{23} = 76.943361762789$$
$$x_{24} = -51.7984033793852$$
$$x_{25} = -54.9407979981311$$
$$x_{26} = 168.063235595213$$
$$x_{27} = -4.08557388547682$$
$$x_{28} = 755.55038961184$$
$$x_{29} = -89.5132953248997$$
$$x_{30} = 67.5141755390553$$
$$x_{31} = -86.3703717136003$$
$$x_{32} = -20.3266414701876$$
$$x_{33} = 20.3266414701876$$
$$x_{34} = 64.3720576734236$$
$$x_{35} = -98.9397485795284$$
$$x_{36} = 23.4730079186956$$
$$x_{37} = -58.0856181381215$$
$$x_{38} = -92.6551632265069$$
$$x_{39} = -80.0853248723334$$
$$x_{40} = -29.7756549714707$$
$$x_{41} = -48.6527219697238$$
$$x_{42} = 26.6311871536774$$
$$x_{43} = 29.7756549714707$$
$$x_{44} = -70.6579261366639$$
$$x_{45} = 42.3631580330254$$
$$x_{46} = 58.0856181381215$$
$$x_{47} = 45.5100986876418$$
$$x_{48} = -180.630443726271$$
$$x_{49} = 98.9397485795284$$
$$x_{50} = -14.0040665914265$$
$$x_{51} = 73.7999565431799$$
$$x_{52} = 48.6527219697238$$
$$x_{53} = 10.7920322357124$$
$$x_{54} = -10.7920322357124$$
$$x_{55} = -32.927791200115$$
$$x_{56} = -42.3631580330254$$
$$x_{57} = 86.3703717136003$$
$$x_{58} = -485.371952906199$$
$$x_{59} = -95.7979150674353$$
$$x_{60} = 95.7979150674353$$
$$x_{61} = 54.9407979981311$$
$$x_{62} = 51.7984033793852$$
$$x_{63} = 89.5132953248997$$
$$x_{64} = -45.5100986876418$$
$$x_{65} = -64.3720576734236$$
$$x_{66} = 4.08557388547682$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}{x^{2}}}{x}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}{x^{2}}}{x}\right) = 0$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[168.063235595213, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -180.630443726271\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}{x^{2}}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -61.2278525685536$$
$$x_{2} = -17.1551175692195$$
$$x_{3} = 14.0040665914265$$
$$x_{4} = 7.62307729555873$$
$$x_{5} = 83.2284614928992$$
$$x_{6} = 70.6579261366639$$
$$x_{7} = -67.5141755390553$$
$$x_{8} = -26.6311871536774$$
$$x_{9} = 32.927791200115$$
$$x_{10} = -39.220192145926$$
$$x_{11} = -76.943361762789$$
$$x_{12} = -83.2284614928992$$
$$x_{13} = -23.4730079186956$$
$$x_{14} = 17.1551175692195$$
$$x_{15} = 80.0853248723334$$
$$x_{16} = 92.6551632265069$$
$$x_{17} = -73.7999565431799$$
$$x_{18} = 61.2278525685536$$
$$x_{19} = -36.0713042845073$$
$$x_{20} = 39.220192145926$$
$$x_{21} = 36.0713042845073$$
$$x_{22} = -7.62307729555873$$
$$x_{23} = 76.943361762789$$
$$x_{24} = -51.7984033793852$$
$$x_{25} = -54.9407979981311$$
$$x_{26} = 168.063235595213$$
$$x_{27} = -4.08557388547682$$
$$x_{28} = 755.55038961184$$
$$x_{29} = -89.5132953248997$$
$$x_{30} = 67.5141755390553$$
$$x_{31} = -86.3703717136003$$
$$x_{32} = -20.3266414701876$$
$$x_{33} = 20.3266414701876$$
$$x_{34} = 64.3720576734236$$
$$x_{35} = -98.9397485795284$$
$$x_{36} = 23.4730079186956$$
$$x_{37} = -58.0856181381215$$
$$x_{38} = -92.6551632265069$$
$$x_{39} = -80.0853248723334$$
$$x_{40} = -29.7756549714707$$
$$x_{41} = -48.6527219697238$$
$$x_{42} = 26.6311871536774$$
$$x_{43} = 29.7756549714707$$
$$x_{44} = -70.6579261366639$$
$$x_{45} = 42.3631580330254$$
$$x_{46} = 58.0856181381215$$
$$x_{47} = 45.5100986876418$$
$$x_{48} = -180.630443726271$$
$$x_{49} = 98.9397485795284$$
$$x_{50} = -14.0040665914265$$
$$x_{51} = 73.7999565431799$$
$$x_{52} = 48.6527219697238$$
$$x_{53} = 10.7920322357124$$
$$x_{54} = -10.7920322357124$$
$$x_{55} = -32.927791200115$$
$$x_{56} = -42.3631580330254$$
$$x_{57} = 86.3703717136003$$
$$x_{58} = -485.371952906199$$
$$x_{59} = -95.7979150674353$$
$$x_{60} = 95.7979150674353$$
$$x_{61} = 54.9407979981311$$
$$x_{62} = 51.7984033793852$$
$$x_{63} = 89.5132953248997$$
$$x_{64} = -45.5100986876418$$
$$x_{65} = -64.3720576734236$$
$$x_{66} = 4.08557388547682$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}{x^{2}}}{x}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}{x^{2}}}{x}\right) = 0$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[168.063235595213, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -180.630443726271\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 - cos(x))/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x} = - \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x} = \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x} = - \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x} = \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico