Sr Examen

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(1-cos(x))/x^2
Límite de la función/ cos(x)/ (1-cos(x))/x^2

Límite de la función (1-cos(x))/x^2

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /1 - cos(x)\
 lim |----------|
x->0+|     2    |
     \    x     /
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) 
Limit((1 - cos(x))/x^2, x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)
Usamos la fórmula trigonométrica
sin(a)^2 = (1 - cos(2*a))/2

cambiamos
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)x2)=lim⁡x→0+(2sin⁡2(x2)x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right)
=
2(lim⁡x→0+(sin⁡(x2)x))22 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)\right)^{2}
lim⁡x→0+(sin⁡(x2)x)=lim⁡u→0+(sin⁡(u)2u)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 u}\right)
=
lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)2\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}
El límite
lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
2(lim⁡x→0+(sin⁡(x2)x))2=2(lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)2)22 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)\right)^{2} = 2 \left(\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}\right)^{2}
=
24\frac{2}{4}
=
12\frac{1}{2}

Entonces la respuesta definitiva es:
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)x2)=12\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2}
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+x2=0\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(1−cos⁡(x))ddxx2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)
=
lim⁡x→0+(sin⁡(x)2x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2 x}\right)
=
lim⁡x→0+(sin⁡(x)2x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2 x}\right)
=
12\frac{1}{2}
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-10100.01.0
Construir el gráfico
Respuesta rápida [src] 
1/2
12\frac{1}{2}
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(1−cos⁡(x)x2)=12\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)x2)=12\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2}
lim⁡x→∞(1−cos⁡(x)x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(1−cos⁡(x)x2)=1−cos⁡(1)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 1 - \cos{\left(1 \right)}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(1−cos⁡(x)x2)=1−cos⁡(1)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 1 - \cos{\left(1 \right)}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(1−cos⁡(x)x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /1 - cos(x)\
 lim |----------|
x->0+|     2    |
     \    x     /
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) 
1/2
12\frac{1}{2} 
= 0.5
     /1 - cos(x)\
 lim |----------|
x->0-|     2    |
     \    x     /
lim⁡x→0−(1−cos⁡(x)x2)\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) 
1/2
12\frac{1}{2} 
= 0.5
= 0.5
Respuesta numérica [src] 
0.5
0.5
Gráfico
Límite de la función (1-cos(x))/x^2
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