Sr Examen
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¿Cómo usar?
- Límite de la función:
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Límite de (1-cos(x))/x^2
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Límite de log(x)/x
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Límite de (-25+x^2)/(-5+x)
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Límite de x^(1/x)
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Expresiones idénticas
- sin(cuatro *x)/(cinco *x)
- seno de (4 multiplicar por x) dividir por (5 multiplicar por x)
- seno de (cuatro multiplicar por x) dividir por (cinco multiplicar por x)
- sin(4x)/(5x)
- sin4x/5x
- sin(4*x) dividir por (5*x)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(9*x)/x
- sin(2*x)/asin(3*x)
- sin(x)/sqrt(1-cos(x))
- sin(4*x)
- sin(x)/x^3
Límite de la función sin(4*x)/(5*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/sin(4*x)\ lim |--------| x->0+\ 5*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{5 x}\right)$$
Limit(sin(4*x)/((5*x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{5 x}\right)$$
Sustituimos
$$u = 4 x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{5 x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 \sin{\left(u \right)}}{5 u}\right)$$
=
$$\frac{4 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{5}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{5 x}\right) = \frac{4}{5}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{5 x}\right)$$
Sustituimos
$$u = 4 x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{5 x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 \sin{\left(u \right)}}{5 u}\right)$$
=
$$\frac{4 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{5}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{5 x}\right) = \frac{4}{5}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(4 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(5 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{5 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{5 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(4 x \right)}}{\frac{d}{d x} 5 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \cos{\left(4 x \right)}}{5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{4}{5}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{4}{5}$$
=
$$\frac{4}{5}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(4 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(5 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{5 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{5 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(4 x \right)}}{\frac{d}{d x} 5 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \cos{\left(4 x \right)}}{5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{4}{5}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{4}{5}$$
=
$$\frac{4}{5}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{5 x}\right) = \frac{4}{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{5 x}\right) = \frac{4}{5}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{5 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{5 x}\right) = \frac{\sin{\left(4 \right)}}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{5 x}\right) = \frac{\sin{\left(4 \right)}}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{5 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{5 x}\right) = \frac{4}{5}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{5 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{5 x}\right) = \frac{\sin{\left(4 \right)}}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{5 x}\right) = \frac{\sin{\left(4 \right)}}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{5 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/sin(4*x)\ lim |--------| x->0+\ 5*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{5 x}\right)$$
4/5
$$\frac{4}{5}$$
= 0.8
/sin(4*x)\ lim |--------| x->0-\ 5*x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{5 x}\right)$$
4/5
$$\frac{4}{5}$$
= 0.8
= 0.8
Gráfico