Sr Examen

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sin(x)/sqrt(1-cos(x))
Límite de la función/ cos(x)/ sin(x)/ sin(x)/sqrt(1-cos(x))

Límite de la función sin(x)/sqrt(1-cos(x))

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /    sin(x)    \
 lim |--------------|
x->0+|  ____________|
     \\/ 1 - cos(x) /
lim⁡x→0+(sin⁡(x)1−cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}}}\right) 
Limit(sin(x)/sqrt(1 - cos(x)), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+sin⁡(x)=0\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(x \right)} = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+1−cos⁡(x)=0\lim_{x \to 0^+} \sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}} = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(sin⁡(x)1−cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddxsin⁡(x)ddx1−cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}}}\right)
=
lim⁡x→0+(21−cos⁡(x)cos⁡(x)sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(21−cos⁡(x)cos⁡(x)sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)
=
2\sqrt{2}
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-10105-5
Trazar el gráfico
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /    sin(x)    \
 lim |--------------|
x->0+|  ____________|
     \\/ 1 - cos(x) /
lim⁡x→0+(sin⁡(x)1−cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}}}\right) 
  ___
\/ 2
2\sqrt{2} 
= 1.4142135623731
     /    sin(x)    \
 lim |--------------|
x->0-|  ____________|
     \\/ 1 - cos(x) /
lim⁡x→0−(sin⁡(x)1−cos⁡(x))\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}}}\right) 
   ___
-\/ 2
−2- \sqrt{2} 
= -1.4142135623731
= -1.4142135623731
Respuesta rápida [src] 
  ___
\/ 2
2\sqrt{2}
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(sin⁡(x)1−cos⁡(x))=2\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}}}\right) = \sqrt{2}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(sin⁡(x)1−cos⁡(x))=2\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}}}\right) = \sqrt{2}
lim⁡x→∞(sin⁡(x)1−cos⁡(x))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}}}\right)
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(sin⁡(x)1−cos⁡(x))=sin⁡(1)1−cos⁡(1)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}}}\right) = \frac{\sin{\left(1 \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(1 \right)}}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(sin⁡(x)1−cos⁡(x))=sin⁡(1)1−cos⁡(1)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}}}\right) = \frac{\sin{\left(1 \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(1 \right)}}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)1−cos⁡(x))\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}}}\right)
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src] 
1.4142135623731
1.4142135623731
Gráfico
Límite de la función sin(x)/sqrt(1-cos(x))
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