Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de tan(x)/x
-
Límite de sin(3*x)/x
- Límite de (-9+x^2)/(6+x^2-5*x)
-
Límite de (-16+x^2)/(-4+x)
- Integral de d{x}:
- sin(5*x)/sin(3*x)
-
Expresiones idénticas
- sin(cinco *x)/sin(tres *x)
- seno de (5 multiplicar por x) dividir por seno de (3 multiplicar por x)
- seno de (cinco multiplicar por x) dividir por seno de (tres multiplicar por x)
- sin(5x)/sin(3x)
- sin5x/sin3x
- sin(5*x) dividir por sin(3*x)
-
Expresiones semejantes
- (x-sin(5*x))/sin(3*x)^2
- (sqrt(4+3*sin(2*x))-sqrt(4+sin(5*x)))/sin(3*x)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(3*x)/x
- sin(5*x)/(3*x)
- sin(10*x)/x
- sin(x)/(5*x)
- sinh(x)
- Seno sin
- sin(3*x)/x
- sin(5*x)/(3*x)
- sin(10*x)/x
- sin(x)/(5*x)
- sinh(x)
Límite de la función sin(5*x)/sin(3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/sin(5*x)\ lim |--------| x->0+\sin(3*x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
Limit(sin(5*x)/sin(3*x), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x} \frac{x}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
Sustituimos
$$u = 5 x$$
y
$$v = 3 x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{3 \sin{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$\frac{5 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\sin{\left(v \right)}}\right)}{3}$$
=
$$\frac{5 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}}{3}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
y
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
=
$$\frac{5 \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}}{3}$$
=
$$\frac{5}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \frac{5}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x} \frac{x}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
Sustituimos
$$u = 5 x$$
y
$$v = 3 x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{3 \sin{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$\frac{5 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\sin{\left(v \right)}}\right)}{3}$$
=
$$\frac{5 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}}{3}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
y
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
=
$$\frac{5 \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}}{3}$$
=
$$\frac{5}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \frac{5}{3}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(5 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(3 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(5 x \right)}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \cos{\left(5 x \right)}}{3 \cos{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{5}{3}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{5}{3}$$
=
$$\frac{5}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(5 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(3 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(5 x \right)}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \cos{\left(5 x \right)}}{3 \cos{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{5}{3}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{5}{3}$$
=
$$\frac{5}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/sin(5*x)\ lim |--------| x->0+\sin(3*x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
5/3
$$\frac{5}{3}$$
= 1.66666666666667
/sin(5*x)\ lim |--------| x->0-\sin(3*x)/
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
5/3
$$\frac{5}{3}$$
= 1.66666666666667
= 1.66666666666667
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \frac{5}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \frac{5}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(5 \right)}}{\sin{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(5 \right)}}{\sin{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \frac{5}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(5 \right)}}{\sin{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(5 \right)}}{\sin{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico