Sr Examen

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cos(x)*sin(x)/x
Límite de la función/ cos(x)/ sin(x)/ cos(x)*sin(x)/x

Límite de la función cos(x)*sin(x)/x

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /cos(x)*sin(x)\
 lim |-------------|
x->0+\      x      /
lim⁡x→0+(sin⁡(x)cos⁡(x)x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) 
Limit((cos(x)*sin(x))/x, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+(sin⁡(x)cos⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+x=0\lim_{x \to 0^+} x = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(sin⁡(x)cos⁡(x)x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→0+(sin⁡(x)cos⁡(x)x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right)
=
lim⁡x→0+(ddxsin⁡(x)cos⁡(x)ddxx)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} x}\right)
=
lim⁡x→0+(−sin⁡2(x)+cos⁡2(x))\lim_{x \to 0^+}\left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)
=
lim⁡x→0+(−sin⁡2(x)+cos⁡2(x))\lim_{x \to 0^+}\left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)
=
11
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-10102-1
Trazar el gráfico
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /cos(x)*sin(x)\
 lim |-------------|
x->0+\      x      /
lim⁡x→0+(sin⁡(x)cos⁡(x)x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) 
1
11 
= 1.0
     /cos(x)*sin(x)\
 lim |-------------|
x->0-\      x      /
lim⁡x→0−(sin⁡(x)cos⁡(x)x)\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) 
1
11 
= 1.0
= 1.0
Respuesta rápida [src] 
1
11
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(sin⁡(x)cos⁡(x)x)=1\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 1
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(sin⁡(x)cos⁡(x)x)=1\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 1
lim⁡x→∞(sin⁡(x)cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(sin⁡(x)cos⁡(x)x)=sin⁡(1)cos⁡(1)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(sin⁡(x)cos⁡(x)x)=sin⁡(1)cos⁡(1)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src] 
1.0
1.0
Gráfico
Límite de la función cos(x)*sin(x)/x
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