$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
Limit(sin(2*x)/x, x, -oo)
Solución detallada
Tomamos como el límite $$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$ Sustituimos $$u = 2 x$$ entonces $$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 \sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$ = $$2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$ El límite $$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$ hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es: $$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 2$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$ $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$ Más detalles con x→oo $$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 2$$ Más detalles con x→0 a la izquierda $$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 2$$ Más detalles con x→0 a la derecha $$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \sin{\left(2 \right)}$$ Más detalles con x→1 a la izquierda $$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \sin{\left(2 \right)}$$ Más detalles con x→1 a la derecha