Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
1/(x^2+4)
-
x^2*exp(-x)
-
-cos(x)-sin(x)
-
-exp(x)-exp(-x)-exp(2*x)
- Límite de la función:
-
sin(2*x)/x
-
Expresiones idénticas
- sin(dos *x)/x
- seno de (2 multiplicar por x) dividir por x
- seno de (dos multiplicar por x) dividir por x
- sin(2x)/x
- sin2x/x
- sin(2*x) dividir por x
-
Expresiones semejantes
- arcsin((2x)/(x^2+1))
- sqrt(sin(2*x))/x
- (sin^2(x))/x
- asin(2*x/(x^2+1))
- (-2*asin(x)+asin(2*x))/x^3
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(1/x)
- sin(x)*cos(x)
- sin(x)/cos(x)
- sin(x)-cos(x)
- sin(1)/x
Gráfico de la función y = sin(2*x)/x
Solución
Ha introducido
[src]
sin(2*x)
f(x) = --------
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}$$
f = sin(2*x)/x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 89.5353906273091$$
$$x_{2} = -15.707963267949$$
$$x_{3} = -31.4159265358979$$
$$x_{4} = 42.4115008234622$$
$$x_{5} = 21.9911485751286$$
$$x_{6} = -42.4115008234622$$
$$x_{7} = -29.845130209103$$
$$x_{8} = -21.9911485751286$$
$$x_{9} = -36.1283155162826$$
$$x_{10} = 28.2743338823081$$
$$x_{11} = 86.3937979737193$$
$$x_{12} = 72.2566310325652$$
$$x_{13} = -94.2477796076938$$
$$x_{14} = -61.261056745001$$
$$x_{15} = 87.9645943005142$$
$$x_{16} = -95.8185759344887$$
$$x_{17} = -50.2654824574367$$
$$x_{18} = 23.5619449019235$$
$$x_{19} = -43.9822971502571$$
$$x_{20} = -97.3893722612836$$
$$x_{21} = 50.2654824574367$$
$$x_{22} = -14.1371669411541$$
$$x_{23} = 59.6902604182061$$
$$x_{24} = 58.1194640914112$$
$$x_{25} = -1668.18569905618$$
$$x_{26} = -53.4070751110265$$
$$x_{27} = -23.5619449019235$$
$$x_{28} = -86.3937979737193$$
$$x_{29} = -17.2787595947439$$
$$x_{30} = 12.5663706143592$$
$$x_{31} = -81.6814089933346$$
$$x_{32} = 94.2477796076938$$
$$x_{33} = 81.6814089933346$$
$$x_{34} = -67.5442420521806$$
$$x_{35} = -80.1106126665397$$
$$x_{36} = -1.5707963267949$$
$$x_{37} = 92.6769832808989$$
$$x_{38} = 36.1283155162826$$
$$x_{39} = -39.2699081698724$$
$$x_{40} = -28.2743338823081$$
$$x_{41} = 4.71238898038469$$
$$x_{42} = -237.190245346029$$
$$x_{43} = 48.6946861306418$$
$$x_{44} = -72.2566310325652$$
$$x_{45} = -271.747764535517$$
$$x_{46} = 37.6991118430775$$
$$x_{47} = 70.6858347057703$$
$$x_{48} = -45.553093477052$$
$$x_{49} = -89.5353906273091$$
$$x_{50} = 65.9734457253857$$
$$x_{51} = 73.8274273593601$$
$$x_{52} = 20.4203522483337$$
$$x_{53} = -87.9645943005142$$
$$x_{54} = 1.5707963267949$$
$$x_{55} = 45.553093477052$$
$$x_{56} = 78.5398163397448$$
$$x_{57} = -6.28318530717959$$
$$x_{58} = 95.8185759344887$$
$$x_{59} = 15.707963267949$$
$$x_{60} = -20.4203522483337$$
$$x_{61} = 153.9380400259$$
$$x_{62} = -58.1194640914112$$
$$x_{63} = 56.5486677646163$$
$$x_{64} = 80.1106126665397$$
$$x_{65} = 7.85398163397448$$
$$x_{66} = 26.7035375555132$$
$$x_{67} = 29.845130209103$$
$$x_{68} = -65.9734457253857$$
$$x_{69} = 43.9822971502571$$
$$x_{70} = 14.1371669411541$$
$$x_{71} = -317.300858012569$$
$$x_{72} = -37.6991118430775$$
$$x_{73} = -59.6902604182061$$
$$x_{74} = -64.4026493985908$$
$$x_{75} = -83.2522053201295$$
$$x_{76} = -75.398223686155$$
$$x_{77} = 51.8362787842316$$
$$x_{78} = 100.530964914873$$
$$x_{79} = 64.4026493985908$$
$$x_{80} = 34.5575191894877$$
$$x_{81} = -73.8274273593601$$
$$x_{82} = 6.28318530717959$$
$$x_{83} = -9.42477796076938$$
$$x_{84} = -51.8362787842316$$
$$x_{85} = 67.5442420521806$$
$$x_{86} = -7.85398163397448$$
$$x_{87} = -370.707933123596$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 89.5353906273091$$
$$x_{2} = -15.707963267949$$
$$x_{3} = -31.4159265358979$$
$$x_{4} = 42.4115008234622$$
$$x_{5} = 21.9911485751286$$
$$x_{6} = -42.4115008234622$$
$$x_{7} = -29.845130209103$$
$$x_{8} = -21.9911485751286$$
$$x_{9} = -36.1283155162826$$
$$x_{10} = 28.2743338823081$$
$$x_{11} = 86.3937979737193$$
$$x_{12} = 72.2566310325652$$
$$x_{13} = -94.2477796076938$$
$$x_{14} = -61.261056745001$$
$$x_{15} = 87.9645943005142$$
$$x_{16} = -95.8185759344887$$
$$x_{17} = -50.2654824574367$$
$$x_{18} = 23.5619449019235$$
$$x_{19} = -43.9822971502571$$
$$x_{20} = -97.3893722612836$$
$$x_{21} = 50.2654824574367$$
$$x_{22} = -14.1371669411541$$
$$x_{23} = 59.6902604182061$$
$$x_{24} = 58.1194640914112$$
$$x_{25} = -1668.18569905618$$
$$x_{26} = -53.4070751110265$$
$$x_{27} = -23.5619449019235$$
$$x_{28} = -86.3937979737193$$
$$x_{29} = -17.2787595947439$$
$$x_{30} = 12.5663706143592$$
$$x_{31} = -81.6814089933346$$
$$x_{32} = 94.2477796076938$$
$$x_{33} = 81.6814089933346$$
$$x_{34} = -67.5442420521806$$
$$x_{35} = -80.1106126665397$$
$$x_{36} = -1.5707963267949$$
$$x_{37} = 92.6769832808989$$
$$x_{38} = 36.1283155162826$$
$$x_{39} = -39.2699081698724$$
$$x_{40} = -28.2743338823081$$
$$x_{41} = 4.71238898038469$$
$$x_{42} = -237.190245346029$$
$$x_{43} = 48.6946861306418$$
$$x_{44} = -72.2566310325652$$
$$x_{45} = -271.747764535517$$
$$x_{46} = 37.6991118430775$$
$$x_{47} = 70.6858347057703$$
$$x_{48} = -45.553093477052$$
$$x_{49} = -89.5353906273091$$
$$x_{50} = 65.9734457253857$$
$$x_{51} = 73.8274273593601$$
$$x_{52} = 20.4203522483337$$
$$x_{53} = -87.9645943005142$$
$$x_{54} = 1.5707963267949$$
$$x_{55} = 45.553093477052$$
$$x_{56} = 78.5398163397448$$
$$x_{57} = -6.28318530717959$$
$$x_{58} = 95.8185759344887$$
$$x_{59} = 15.707963267949$$
$$x_{60} = -20.4203522483337$$
$$x_{61} = 153.9380400259$$
$$x_{62} = -58.1194640914112$$
$$x_{63} = 56.5486677646163$$
$$x_{64} = 80.1106126665397$$
$$x_{65} = 7.85398163397448$$
$$x_{66} = 26.7035375555132$$
$$x_{67} = 29.845130209103$$
$$x_{68} = -65.9734457253857$$
$$x_{69} = 43.9822971502571$$
$$x_{70} = 14.1371669411541$$
$$x_{71} = -317.300858012569$$
$$x_{72} = -37.6991118430775$$
$$x_{73} = -59.6902604182061$$
$$x_{74} = -64.4026493985908$$
$$x_{75} = -83.2522053201295$$
$$x_{76} = -75.398223686155$$
$$x_{77} = 51.8362787842316$$
$$x_{78} = 100.530964914873$$
$$x_{79} = 64.4026493985908$$
$$x_{80} = 34.5575191894877$$
$$x_{81} = -73.8274273593601$$
$$x_{82} = 6.28318530717959$$
$$x_{83} = -9.42477796076938$$
$$x_{84} = -51.8362787842316$$
$$x_{85} = 67.5442420521806$$
$$x_{86} = -7.85398163397448$$
$$x_{87} = -370.707933123596$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2.24670472895453$$
$$x_{2} = -10.1856514796438$$
$$x_{3} = -24.3370721159772$$
$$x_{4} = 98.172223901556$$
$$x_{5} = -32.1935597952787$$
$$x_{6} = 69.8968599047927$$
$$x_{7} = -46.3330961388114$$
$$x_{8} = -98.172223901556$$
$$x_{9} = -77.7512028363303$$
$$x_{10} = 24.3370721159772$$
$$x_{11} = -19.6222161805821$$
$$x_{12} = 41.6200962353617$$
$$x_{13} = 40.0490643144726$$
$$x_{14} = -3.86262591846885$$
$$x_{15} = 46.3330961388114$$
$$x_{16} = -16.4781945199112$$
$$x_{17} = 11.7597262493445$$
$$x_{18} = 85.6054794697228$$
$$x_{19} = 54.1878598258373$$
$$x_{20} = 66.7550989265392$$
$$x_{21} = 51.0459832324538$$
$$x_{22} = -60.4715244985757$$
$$x_{23} = 84.0346285545694$$
$$x_{24} = 91.8888644664832$$
$$x_{25} = -63.6133213216672$$
$$x_{26} = 52.6169257678188$$
$$x_{27} = -54.1878598258373$$
$$x_{28} = 63.6133213216672$$
$$x_{29} = 99.7430603324317$$
$$x_{30} = -76.1803402100956$$
$$x_{31} = -35.3358428558098$$
$$x_{32} = 30.6223651301872$$
$$x_{33} = -82.4637755597094$$
$$x_{34} = 13.3330271294063$$
$$x_{35} = 18.0503111221878$$
$$x_{36} = -47.9040693934309$$
$$x_{37} = -68.3259813506395$$
$$x_{38} = 32.1935597952787$$
$$x_{39} = -99.7430603324317$$
$$x_{40} = -41.6200962353617$$
$$x_{41} = 38.4780131551656$$
$$x_{42} = 76.1803402100956$$
$$x_{43} = 8.61037763596538$$
$$x_{44} = -5.45206082971445$$
$$x_{45} = 55.7587861230655$$
$$x_{46} = -27.4798391439445$$
$$x_{47} = -85.6054794697228$$
$$x_{48} = -58.9006179191122$$
$$x_{49} = -55.7587861230655$$
$$x_{50} = 22.7655670069956$$
$$x_{51} = -84.0346285545694$$
$$x_{52} = -38.4780131551656$$
$$x_{53} = 47.9040693934309$$
$$x_{54} = 74.6094747920599$$
$$x_{55} = 204.987701063789$$
$$x_{56} = 82.4637755597094$$
$$x_{57} = -71.4677348441946$$
$$x_{58} = -2.24670472895453$$
$$x_{59} = 33.7647173885721$$
$$x_{60} = -49.4750314121659$$
$$x_{61} = -62.0424254948814$$
$$x_{62} = 16.4781945199112$$
$$x_{63} = -18.0503111221878$$
$$x_{64} = 77.7512028363303$$
$$x_{65} = -91.8888644664832$$
$$x_{66} = -33.7647173885721$$
$$x_{67} = -40.0490643144726$$
$$x_{68} = -69.8968599047927$$
$$x_{69} = 96.6013861664138$$
$$x_{70} = 60.4715244985757$$
$$x_{71} = 88.7471755026564$$
$$x_{72} = 10.1856514796438$$
$$x_{73} = 68.3259813506395$$
$$x_{74} = 44.7621104652086$$
$$x_{75} = -13.3330271294063$$
$$x_{76} = -79.3220628366317$$
$$x_{77} = -90.3180208221014$$
$$x_{78} = -57.3297052975115$$
$$x_{79} = -25.9084912436398$$
$$x_{80} = -11.7597262493445$$
$$x_{81} = 19.6222161805821$$
$$x_{82} = 25.9084912436398$$
$$x_{83} = -93.4597065202651$$
$$x_{84} = 3.86262591846885$$
$$x_{85} = 62.0424254948814$$
$$x_{86} = 90.3180208221014$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2.24670472895453$$
$$x_{2} = -24.3370721159772$$
$$x_{3} = -46.3330961388114$$
$$x_{4} = -77.7512028363303$$
$$x_{5} = 24.3370721159772$$
$$x_{6} = 40.0490643144726$$
$$x_{7} = 46.3330961388114$$
$$x_{8} = 11.7597262493445$$
$$x_{9} = 84.0346285545694$$
$$x_{10} = 52.6169257678188$$
$$x_{11} = 99.7430603324317$$
$$x_{12} = 30.6223651301872$$
$$x_{13} = 18.0503111221878$$
$$x_{14} = -68.3259813506395$$
$$x_{15} = -99.7430603324317$$
$$x_{16} = 8.61037763596538$$
$$x_{17} = -5.45206082971445$$
$$x_{18} = 55.7587861230655$$
$$x_{19} = -27.4798391439445$$
$$x_{20} = -58.9006179191122$$
$$x_{21} = -55.7587861230655$$
$$x_{22} = -84.0346285545694$$
$$x_{23} = 74.6094747920599$$
$$x_{24} = -71.4677348441946$$
$$x_{25} = -2.24670472895453$$
$$x_{26} = 33.7647173885721$$
$$x_{27} = -49.4750314121659$$
$$x_{28} = -62.0424254948814$$
$$x_{29} = -18.0503111221878$$
$$x_{30} = 77.7512028363303$$
$$x_{31} = -33.7647173885721$$
$$x_{32} = -40.0490643144726$$
$$x_{33} = 96.6013861664138$$
$$x_{34} = 68.3259813506395$$
$$x_{35} = -90.3180208221014$$
$$x_{36} = -11.7597262493445$$
$$x_{37} = -93.4597065202651$$
$$x_{38} = 62.0424254948814$$
$$x_{39} = 90.3180208221014$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{39} = -10.1856514796438$$
$$x_{39} = 98.172223901556$$
$$x_{39} = -32.1935597952787$$
$$x_{39} = 69.8968599047927$$
$$x_{39} = -98.172223901556$$
$$x_{39} = -19.6222161805821$$
$$x_{39} = 41.6200962353617$$
$$x_{39} = -3.86262591846885$$
$$x_{39} = -16.4781945199112$$
$$x_{39} = 85.6054794697228$$
$$x_{39} = 54.1878598258373$$
$$x_{39} = 66.7550989265392$$
$$x_{39} = 51.0459832324538$$
$$x_{39} = -60.4715244985757$$
$$x_{39} = 91.8888644664832$$
$$x_{39} = -63.6133213216672$$
$$x_{39} = -54.1878598258373$$
$$x_{39} = 63.6133213216672$$
$$x_{39} = -76.1803402100956$$
$$x_{39} = -35.3358428558098$$
$$x_{39} = -82.4637755597094$$
$$x_{39} = 13.3330271294063$$
$$x_{39} = -47.9040693934309$$
$$x_{39} = 32.1935597952787$$
$$x_{39} = -41.6200962353617$$
$$x_{39} = 38.4780131551656$$
$$x_{39} = 76.1803402100956$$
$$x_{39} = -85.6054794697228$$
$$x_{39} = 22.7655670069956$$
$$x_{39} = -38.4780131551656$$
$$x_{39} = 47.9040693934309$$
$$x_{39} = 204.987701063789$$
$$x_{39} = 82.4637755597094$$
$$x_{39} = 16.4781945199112$$
$$x_{39} = -91.8888644664832$$
$$x_{39} = -69.8968599047927$$
$$x_{39} = 60.4715244985757$$
$$x_{39} = 88.7471755026564$$
$$x_{39} = 10.1856514796438$$
$$x_{39} = 44.7621104652086$$
$$x_{39} = -13.3330271294063$$
$$x_{39} = -79.3220628366317$$
$$x_{39} = -57.3297052975115$$
$$x_{39} = -25.9084912436398$$
$$x_{39} = 19.6222161805821$$
$$x_{39} = 25.9084912436398$$
$$x_{39} = 3.86262591846885$$
Decrece en los intervalos
$$\left[99.7430603324317, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -99.7430603324317\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2.24670472895453$$
$$x_{2} = -10.1856514796438$$
$$x_{3} = -24.3370721159772$$
$$x_{4} = 98.172223901556$$
$$x_{5} = -32.1935597952787$$
$$x_{6} = 69.8968599047927$$
$$x_{7} = -46.3330961388114$$
$$x_{8} = -98.172223901556$$
$$x_{9} = -77.7512028363303$$
$$x_{10} = 24.3370721159772$$
$$x_{11} = -19.6222161805821$$
$$x_{12} = 41.6200962353617$$
$$x_{13} = 40.0490643144726$$
$$x_{14} = -3.86262591846885$$
$$x_{15} = 46.3330961388114$$
$$x_{16} = -16.4781945199112$$
$$x_{17} = 11.7597262493445$$
$$x_{18} = 85.6054794697228$$
$$x_{19} = 54.1878598258373$$
$$x_{20} = 66.7550989265392$$
$$x_{21} = 51.0459832324538$$
$$x_{22} = -60.4715244985757$$
$$x_{23} = 84.0346285545694$$
$$x_{24} = 91.8888644664832$$
$$x_{25} = -63.6133213216672$$
$$x_{26} = 52.6169257678188$$
$$x_{27} = -54.1878598258373$$
$$x_{28} = 63.6133213216672$$
$$x_{29} = 99.7430603324317$$
$$x_{30} = -76.1803402100956$$
$$x_{31} = -35.3358428558098$$
$$x_{32} = 30.6223651301872$$
$$x_{33} = -82.4637755597094$$
$$x_{34} = 13.3330271294063$$
$$x_{35} = 18.0503111221878$$
$$x_{36} = -47.9040693934309$$
$$x_{37} = -68.3259813506395$$
$$x_{38} = 32.1935597952787$$
$$x_{39} = -99.7430603324317$$
$$x_{40} = -41.6200962353617$$
$$x_{41} = 38.4780131551656$$
$$x_{42} = 76.1803402100956$$
$$x_{43} = 8.61037763596538$$
$$x_{44} = -5.45206082971445$$
$$x_{45} = 55.7587861230655$$
$$x_{46} = -27.4798391439445$$
$$x_{47} = -85.6054794697228$$
$$x_{48} = -58.9006179191122$$
$$x_{49} = -55.7587861230655$$
$$x_{50} = 22.7655670069956$$
$$x_{51} = -84.0346285545694$$
$$x_{52} = -38.4780131551656$$
$$x_{53} = 47.9040693934309$$
$$x_{54} = 74.6094747920599$$
$$x_{55} = 204.987701063789$$
$$x_{56} = 82.4637755597094$$
$$x_{57} = -71.4677348441946$$
$$x_{58} = -2.24670472895453$$
$$x_{59} = 33.7647173885721$$
$$x_{60} = -49.4750314121659$$
$$x_{61} = -62.0424254948814$$
$$x_{62} = 16.4781945199112$$
$$x_{63} = -18.0503111221878$$
$$x_{64} = 77.7512028363303$$
$$x_{65} = -91.8888644664832$$
$$x_{66} = -33.7647173885721$$
$$x_{67} = -40.0490643144726$$
$$x_{68} = -69.8968599047927$$
$$x_{69} = 96.6013861664138$$
$$x_{70} = 60.4715244985757$$
$$x_{71} = 88.7471755026564$$
$$x_{72} = 10.1856514796438$$
$$x_{73} = 68.3259813506395$$
$$x_{74} = 44.7621104652086$$
$$x_{75} = -13.3330271294063$$
$$x_{76} = -79.3220628366317$$
$$x_{77} = -90.3180208221014$$
$$x_{78} = -57.3297052975115$$
$$x_{79} = -25.9084912436398$$
$$x_{80} = -11.7597262493445$$
$$x_{81} = 19.6222161805821$$
$$x_{82} = 25.9084912436398$$
$$x_{83} = -93.4597065202651$$
$$x_{84} = 3.86262591846885$$
$$x_{85} = 62.0424254948814$$
$$x_{86} = 90.3180208221014$$
Signos de extremos en los puntos:
(2.246704728954532, -0.434467256422443)
(-10.18565147964378, 0.0980592480281483)
(-24.337072115977193, -0.0410809080835075)
(98.172223901556, 0.0101860484638785)
(-32.19355979527871, 0.0310583676149227)
(69.8968599047927, 0.0143064283116353)
(-46.33309613881142, -0.0215815876990685)
(-98.172223901556, 0.0101860484638785)
(-77.75120283633034, -0.0128612714243586)
(24.337072115977193, -0.0410809080835075)
(-19.622216180582097, 0.0509461061857615)
(41.6200962353617, 0.0240251209641055)
(40.04906431447256, -0.024967426643558)
(-3.8626259184688534, 0.256749107051798)
(46.33309613881142, -0.0215815876990685)
(-16.478194519911238, 0.0606583423726206)
(11.759726249344503, -0.0849592339552253)
(85.60547946972281, 0.0116812959808693)
(54.18785982583734, 0.0184535325015639)
(66.75509892653919, 0.0149797089170242)
(51.04598323245382, 0.0195892402934823)
(-60.47152449857575, 0.0165361437007152)
(84.0346285545694, -0.0118996456204748)
(91.88886446648316, 0.0108825503716759)
(-63.613321321667165, 0.015719492253233)
(52.6169257678188, -0.0190044332375671)
(-54.18785982583734, 0.0184535325015639)
(63.613321321667165, 0.015719492253233)
(99.74306033243167, -0.0100256341886906)
(-76.18034021009562, 0.0131264635863328)
(-35.33584285580975, 0.0282970441297328)
(30.6223651301872, -0.0326515186419956)
(-82.46377555970939, 0.0121263137918205)
(13.333027129406338, 0.0749490399878624)
(18.050311122187804, -0.0553794646022984)
(-47.90406939343085, 0.0208739162691316)
(-68.3259813506395, -0.0146353291349374)
(32.19355979527871, 0.0310583676149227)
(-99.74306033243167, -0.0100256341886906)
(-41.6200962353617, 0.0240251209641055)
(38.47801315516559, 0.0259866739740854)
(76.18034021009562, 0.0131264635863328)
(8.610377635965385, -0.115943604692308)
(-5.4520608297144495, -0.182650405646115)
(55.758786123065505, -0.0179336722809866)
(-27.479839143944467, -0.0363842926436063)
(-85.60547946972281, 0.0116812959808693)
(-58.90061791911219, -0.0169771388955304)
(-55.758786123065505, -0.0179336722809866)
(22.76556700699564, 0.0439153964569649)
(-84.0346285545694, -0.0118996456204748)
(-38.47801315516559, 0.0259866739740854)
(47.90406939343085, 0.0208739162691316)
(74.60947479205991, -0.0134028224709878)
(204.98770106378876, 0.00487832694374757)
(82.46377555970939, 0.0121263137918205)
(-71.46773484419464, -0.0139919857530453)
(-2.246704728954532, -0.434467256422443)
(33.76471738857206, -0.0296134678930985)
(-49.47503141216594, -0.0202111834730081)
(-62.04242549488138, -0.0161174796093628)
(16.478194519911238, 0.0606583423726206)
(-18.050311122187804, -0.0553794646022984)
(77.75120283633034, -0.0128612714243586)
(-91.88886446648316, 0.0108825503716759)
(-33.76471738857206, -0.0296134678930985)
(-40.04906431447256, -0.024967426643558)
(-69.8968599047927, 0.0143064283116353)
(96.60138616641379, -0.0103516796697785)
(60.47152449857575, 0.0165361437007152)
(88.7471755026564, 0.0112677854121748)
(10.18565147964378, 0.0980592480281483)
(68.3259813506395, -0.0146353291349374)
(44.76211046520859, 0.0223389292683471)
(-13.333027129406338, 0.0749490399878624)
(-79.32206283663172, 0.0126065825610424)
(-90.31802082210145, -0.01107181786798)
(-57.32970529751154, 0.0174423008954086)
(-25.908491243639833, 0.0385901989751759)
(-11.759726249344503, -0.0849592339552253)
(19.622216180582097, 0.0509461061857615)
(25.908491243639833, 0.0385901989751759)
(-93.45970652026512, -0.0106996450858762)
(3.8626259184688534, 0.256749107051798)
(62.04242549488138, -0.0161174796093628)
(90.31802082210145, -0.01107181786798)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2.24670472895453$$
$$x_{2} = -24.3370721159772$$
$$x_{3} = -46.3330961388114$$
$$x_{4} = -77.7512028363303$$
$$x_{5} = 24.3370721159772$$
$$x_{6} = 40.0490643144726$$
$$x_{7} = 46.3330961388114$$
$$x_{8} = 11.7597262493445$$
$$x_{9} = 84.0346285545694$$
$$x_{10} = 52.6169257678188$$
$$x_{11} = 99.7430603324317$$
$$x_{12} = 30.6223651301872$$
$$x_{13} = 18.0503111221878$$
$$x_{14} = -68.3259813506395$$
$$x_{15} = -99.7430603324317$$
$$x_{16} = 8.61037763596538$$
$$x_{17} = -5.45206082971445$$
$$x_{18} = 55.7587861230655$$
$$x_{19} = -27.4798391439445$$
$$x_{20} = -58.9006179191122$$
$$x_{21} = -55.7587861230655$$
$$x_{22} = -84.0346285545694$$
$$x_{23} = 74.6094747920599$$
$$x_{24} = -71.4677348441946$$
$$x_{25} = -2.24670472895453$$
$$x_{26} = 33.7647173885721$$
$$x_{27} = -49.4750314121659$$
$$x_{28} = -62.0424254948814$$
$$x_{29} = -18.0503111221878$$
$$x_{30} = 77.7512028363303$$
$$x_{31} = -33.7647173885721$$
$$x_{32} = -40.0490643144726$$
$$x_{33} = 96.6013861664138$$
$$x_{34} = 68.3259813506395$$
$$x_{35} = -90.3180208221014$$
$$x_{36} = -11.7597262493445$$
$$x_{37} = -93.4597065202651$$
$$x_{38} = 62.0424254948814$$
$$x_{39} = 90.3180208221014$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{39} = -10.1856514796438$$
$$x_{39} = 98.172223901556$$
$$x_{39} = -32.1935597952787$$
$$x_{39} = 69.8968599047927$$
$$x_{39} = -98.172223901556$$
$$x_{39} = -19.6222161805821$$
$$x_{39} = 41.6200962353617$$
$$x_{39} = -3.86262591846885$$
$$x_{39} = -16.4781945199112$$
$$x_{39} = 85.6054794697228$$
$$x_{39} = 54.1878598258373$$
$$x_{39} = 66.7550989265392$$
$$x_{39} = 51.0459832324538$$
$$x_{39} = -60.4715244985757$$
$$x_{39} = 91.8888644664832$$
$$x_{39} = -63.6133213216672$$
$$x_{39} = -54.1878598258373$$
$$x_{39} = 63.6133213216672$$
$$x_{39} = -76.1803402100956$$
$$x_{39} = -35.3358428558098$$
$$x_{39} = -82.4637755597094$$
$$x_{39} = 13.3330271294063$$
$$x_{39} = -47.9040693934309$$
$$x_{39} = 32.1935597952787$$
$$x_{39} = -41.6200962353617$$
$$x_{39} = 38.4780131551656$$
$$x_{39} = 76.1803402100956$$
$$x_{39} = -85.6054794697228$$
$$x_{39} = 22.7655670069956$$
$$x_{39} = -38.4780131551656$$
$$x_{39} = 47.9040693934309$$
$$x_{39} = 204.987701063789$$
$$x_{39} = 82.4637755597094$$
$$x_{39} = 16.4781945199112$$
$$x_{39} = -91.8888644664832$$
$$x_{39} = -69.8968599047927$$
$$x_{39} = 60.4715244985757$$
$$x_{39} = 88.7471755026564$$
$$x_{39} = 10.1856514796438$$
$$x_{39} = 44.7621104652086$$
$$x_{39} = -13.3330271294063$$
$$x_{39} = -79.3220628366317$$
$$x_{39} = -57.3297052975115$$
$$x_{39} = -25.9084912436398$$
$$x_{39} = 19.6222161805821$$
$$x_{39} = 25.9084912436398$$
$$x_{39} = 3.86262591846885$$
Decrece en los intervalos
$$\left[99.7430603324317, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -99.7430603324317\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -12.5264126404965$$
$$x_{2} = -43.9709250198299$$
$$x_{3} = -2.97018499528636$$
$$x_{4} = 15.6760458632822$$
$$x_{5} = 95.8133573606804$$
$$x_{6} = -64.3948844946117$$
$$x_{7} = -39.2571702659654$$
$$x_{8} = 58.1108594230163$$
$$x_{9} = -59.6818822743783$$
$$x_{10} = -20.3958276156359$$
$$x_{11} = 81.6752870376032$$
$$x_{12} = -80.1043706477551$$
$$x_{13} = 31.4000002782599$$
$$x_{14} = -17.2497574606835$$
$$x_{15} = 86.3880100042327$$
$$x_{16} = -75.391591452362$$
$$x_{17} = -9.37132279238738$$
$$x_{18} = 29.828364501764$$
$$x_{19} = 87.9589097056013$$
$$x_{20} = 14.1016805019762$$
$$x_{21} = 7.78961820519359$$
$$x_{22} = 2.97018499528636$$
$$x_{23} = 56.5398239792896$$
$$x_{24} = 23.5406987060771$$
$$x_{25} = -73.8206539800394$$
$$x_{26} = -86.3880100042327$$
$$x_{27} = 28.2566352310993$$
$$x_{28} = 51.8266306358671$$
$$x_{29} = -67.536838414692$$
$$x_{30} = -4.60292007146833$$
$$x_{31} = 43.9709250198299$$
$$x_{32} = 50.2555326476356$$
$$x_{33} = 4.60292007146833$$
$$x_{34} = -51.8266306358671$$
$$x_{35} = -97.3842378699522$$
$$x_{36} = 92.671587779267$$
$$x_{37} = -29.828364501764$$
$$x_{38} = 37.6858427046437$$
$$x_{39} = -89.5298057788704$$
$$x_{40} = 45.5421137457344$$
$$x_{41} = -21.9683807357099$$
$$x_{42} = -15.6760458632822$$
$$x_{43} = -95.8133573606804$$
$$x_{44} = -28.2566352310993$$
$$x_{45} = -249.754613990023$$
$$x_{46} = 59.6818822743783$$
$$x_{47} = -65.9658657574213$$
$$x_{48} = -81.6752870376032$$
$$x_{49} = -37.6858427046437$$
$$x_{50} = 36.1144688810077$$
$$x_{51} = -6.20222251095099$$
$$x_{52} = 89.5298057788704$$
$$x_{53} = 80.1043706477551$$
$$x_{54} = -72.2497103686524$$
$$x_{55} = -100.525990994784$$
$$x_{56} = 34.5430424733226$$
$$x_{57} = -23.5406987060771$$
$$x_{58} = -50.2555326476356$$
$$x_{59} = 48.6844151814505$$
$$x_{60} = -45.5421137457344$$
$$x_{61} = 72.2497103686524$$
$$x_{62} = -14.1016805019762$$
$$x_{63} = 6.20222251095099$$
$$x_{64} = -58.1108594230163$$
$$x_{65} = -42.3997071961013$$
$$x_{66} = 100.525990994784$$
$$x_{67} = 70.6787602087186$$
$$x_{68} = 78.5334494538573$$
$$x_{69} = 67.536838414692$$
$$x_{70} = -87.9589097056013$$
$$x_{71} = 42.3997071961013$$
$$x_{72} = -31.4000002782599$$
$$x_{73} = -83.2461988954369$$
$$x_{74} = -10.9498482397464$$
$$x_{75} = 94.2424740447043$$
$$x_{76} = -94.2424740447043$$
$$x_{77} = -53.3977108664721$$
$$x_{78} = 20.3958276156359$$
$$x_{79} = 12.5264126404965$$
$$x_{80} = -61.252893502736$$
$$x_{81} = 21.9683807357099$$
$$x_{82} = 64.3948844946117$$
$$x_{83} = -36.1144688810077$$
$$x_{84} = 65.9658657574213$$
$$x_{85} = 26.6847959102454$$
$$x_{86} = 73.8206539800394$$
$$x_{87} = -7.78961820519359$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = - \frac{8}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = - \frac{8}{3}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[95.8133573606804, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -100.525990994784\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -12.5264126404965$$
$$x_{2} = -43.9709250198299$$
$$x_{3} = -2.97018499528636$$
$$x_{4} = 15.6760458632822$$
$$x_{5} = 95.8133573606804$$
$$x_{6} = -64.3948844946117$$
$$x_{7} = -39.2571702659654$$
$$x_{8} = 58.1108594230163$$
$$x_{9} = -59.6818822743783$$
$$x_{10} = -20.3958276156359$$
$$x_{11} = 81.6752870376032$$
$$x_{12} = -80.1043706477551$$
$$x_{13} = 31.4000002782599$$
$$x_{14} = -17.2497574606835$$
$$x_{15} = 86.3880100042327$$
$$x_{16} = -75.391591452362$$
$$x_{17} = -9.37132279238738$$
$$x_{18} = 29.828364501764$$
$$x_{19} = 87.9589097056013$$
$$x_{20} = 14.1016805019762$$
$$x_{21} = 7.78961820519359$$
$$x_{22} = 2.97018499528636$$
$$x_{23} = 56.5398239792896$$
$$x_{24} = 23.5406987060771$$
$$x_{25} = -73.8206539800394$$
$$x_{26} = -86.3880100042327$$
$$x_{27} = 28.2566352310993$$
$$x_{28} = 51.8266306358671$$
$$x_{29} = -67.536838414692$$
$$x_{30} = -4.60292007146833$$
$$x_{31} = 43.9709250198299$$
$$x_{32} = 50.2555326476356$$
$$x_{33} = 4.60292007146833$$
$$x_{34} = -51.8266306358671$$
$$x_{35} = -97.3842378699522$$
$$x_{36} = 92.671587779267$$
$$x_{37} = -29.828364501764$$
$$x_{38} = 37.6858427046437$$
$$x_{39} = -89.5298057788704$$
$$x_{40} = 45.5421137457344$$
$$x_{41} = -21.9683807357099$$
$$x_{42} = -15.6760458632822$$
$$x_{43} = -95.8133573606804$$
$$x_{44} = -28.2566352310993$$
$$x_{45} = -249.754613990023$$
$$x_{46} = 59.6818822743783$$
$$x_{47} = -65.9658657574213$$
$$x_{48} = -81.6752870376032$$
$$x_{49} = -37.6858427046437$$
$$x_{50} = 36.1144688810077$$
$$x_{51} = -6.20222251095099$$
$$x_{52} = 89.5298057788704$$
$$x_{53} = 80.1043706477551$$
$$x_{54} = -72.2497103686524$$
$$x_{55} = -100.525990994784$$
$$x_{56} = 34.5430424733226$$
$$x_{57} = -23.5406987060771$$
$$x_{58} = -50.2555326476356$$
$$x_{59} = 48.6844151814505$$
$$x_{60} = -45.5421137457344$$
$$x_{61} = 72.2497103686524$$
$$x_{62} = -14.1016805019762$$
$$x_{63} = 6.20222251095099$$
$$x_{64} = -58.1108594230163$$
$$x_{65} = -42.3997071961013$$
$$x_{66} = 100.525990994784$$
$$x_{67} = 70.6787602087186$$
$$x_{68} = 78.5334494538573$$
$$x_{69} = 67.536838414692$$
$$x_{70} = -87.9589097056013$$
$$x_{71} = 42.3997071961013$$
$$x_{72} = -31.4000002782599$$
$$x_{73} = -83.2461988954369$$
$$x_{74} = -10.9498482397464$$
$$x_{75} = 94.2424740447043$$
$$x_{76} = -94.2424740447043$$
$$x_{77} = -53.3977108664721$$
$$x_{78} = 20.3958276156359$$
$$x_{79} = 12.5264126404965$$
$$x_{80} = -61.252893502736$$
$$x_{81} = 21.9683807357099$$
$$x_{82} = 64.3948844946117$$
$$x_{83} = -36.1144688810077$$
$$x_{84} = 65.9658657574213$$
$$x_{85} = 26.6847959102454$$
$$x_{86} = 73.8206539800394$$
$$x_{87} = -7.78961820519359$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = - \frac{8}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = - \frac{8}{3}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[95.8133573606804, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -100.525990994784\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(2*x)/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} = - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} = - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico