Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/(x^3+2)
-
x*e^(-x)^2
-
2*x^3-15*x^2+36*x-32
-
x*(x-4)
-
Expresiones idénticas
- (sin^ dos (x))/x
- ( seno de al cuadrado (x)) dividir por x
- ( seno de en el grado dos (x)) dividir por x
- (sin2(x))/x
- sin2x/x
- (sin²(x))/x
- (sin en el grado 2(x))/x
- sin^2x/x
- (sin^2(x)) dividir por x
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)/1+cos(x)
- sin(-x+3)
- sin(4*x)^(2)
- sinh(tanh(x))
- sint^2
Gráfico de la función y = (sin^2(x))/x
Solución
Ha introducido
[src]
2
sin (x)
f(x) = -------
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x}$$
f = sin(x)^2/x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = -6.28318512582806$$
$$x_{2} = 21.9911485851862$$
$$x_{3} = -47.1238900763012$$
$$x_{4} = 75.398224139694$$
$$x_{5} = -78.5398160933203$$
$$x_{6} = 78.5398161871203$$
$$x_{7} = -12.566370348569$$
$$x_{8} = -25.1327414848872$$
$$x_{9} = 59.6902605963318$$
$$x_{10} = -21.9911485864387$$
$$x_{11} = -37.6991118770833$$
$$x_{12} = -43.9822970046757$$
$$x_{13} = 65.973445752872$$
$$x_{14} = -50.2654822940439$$
$$x_{15} = -40.8407046746634$$
$$x_{16} = -53.407075282232$$
$$x_{17} = 40.8407038529316$$
$$x_{18} = 47.1238900070552$$
$$x_{19} = -56.548667490356$$
$$x_{20} = -72.2566308732795$$
$$x_{21} = -25.1327414647216$$
$$x_{22} = 75.3982239358177$$
$$x_{23} = 53.4070753585761$$
$$x_{24} = -69.1150380617605$$
$$x_{25} = -81.6814090379518$$
$$x_{26} = -62.8318532480223$$
$$x_{27} = -40.8407066842267$$
$$x_{28} = -69.11503862209$$
$$x_{29} = 40.8407042511736$$
$$x_{30} = 25.13274142749$$
$$x_{31} = -3.14159223666992$$
$$x_{32} = -18.8495556680998$$
$$x_{33} = 50.2654780610567$$
$$x_{34} = 91.1061871519824$$
$$x_{35} = 31.4159270278136$$
$$x_{36} = 15.7079634360324$$
$$x_{37} = 69.1150385805253$$
$$x_{38} = 12.5663704464902$$
$$x_{39} = -97.3893724395293$$
$$x_{40} = 3.14159272740328$$
$$x_{41} = 84.823001407093$$
$$x_{42} = 18.8495556684588$$
$$x_{43} = 34.5575190286501$$
$$x_{44} = -9.42477811967166$$
$$x_{45} = 62.8318524328373$$
$$x_{46} = 43.9822971694085$$
$$x_{47} = -75.3982238609893$$
$$x_{48} = -84.8230018182772$$
$$x_{49} = -65.9734457649654$$
$$x_{50} = 6.2831852840651$$
$$x_{51} = -69.115038626205$$
$$x_{52} = 72.2566310277183$$
$$x_{53} = 97.3893726684677$$
$$x_{54} = 100.530964766066$$
$$x_{55} = 87.9645943357262$$
$$x_{56} = -34.5575189366009$$
$$x_{57} = -91.1061871987871$$
$$x_{58} = 3.14159223734373$$
$$x_{59} = 56.5486676080768$$
$$x_{60} = 37.6991120171585$$
$$x_{61} = -3.14159284098784$$
$$x_{62} = 50.2654824463419$$
$$x_{63} = -28.2743337141732$$
$$x_{64} = 91.1061867261437$$
$$x_{65} = 47.1238895782348$$
$$x_{66} = -53.4070752240643$$
$$x_{67} = 84.8230010502372$$
$$x_{68} = 94.2477796093524$$
$$x_{69} = -94.2477794523719$$
$$x_{70} = -31.415926702919$$
$$x_{71} = 28.2743338651783$$
$$x_{72} = 109.955741076952$$
$$x_{73} = 9.4247781842281$$
$$x_{74} = 25.132740997054$$
$$x_{75} = -87.9645943586888$$
$$x_{76} = -47.1238900446296$$
$$x_{77} = 18.8495552650209$$
$$x_{78} = -40.8407042544435$$
$$x_{79} = 53.4070756006464$$
$$x_{80} = 69.1150381529445$$
$$x_{81} = 62.8318528295667$$
$$x_{82} = -84.8230014048764$$
$$x_{83} = 9.4247781890235$$
$$x_{84} = 97.3893725124567$$
$$x_{85} = -100.530964670637$$
$$x_{86} = -18.8495560894836$$
$$x_{87} = 31.4159267796903$$
$$x_{88} = -62.8318528306552$$
$$x_{89} = -43.9822971745494$$
$$x_{90} = -56.5486675156139$$
$$x_{91} = 251.327413254646$$
$$x_{92} = -59.6902604575823$$
$$x_{93} = -91.1061871670528$$
$$x_{94} = -15.7079632964119$$
$$x_{95} = 81.6814091750724$$
$$x_{96} = -103.672558052222$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = -6.28318512582806$$
$$x_{2} = 21.9911485851862$$
$$x_{3} = -47.1238900763012$$
$$x_{4} = 75.398224139694$$
$$x_{5} = -78.5398160933203$$
$$x_{6} = 78.5398161871203$$
$$x_{7} = -12.566370348569$$
$$x_{8} = -25.1327414848872$$
$$x_{9} = 59.6902605963318$$
$$x_{10} = -21.9911485864387$$
$$x_{11} = -37.6991118770833$$
$$x_{12} = -43.9822970046757$$
$$x_{13} = 65.973445752872$$
$$x_{14} = -50.2654822940439$$
$$x_{15} = -40.8407046746634$$
$$x_{16} = -53.407075282232$$
$$x_{17} = 40.8407038529316$$
$$x_{18} = 47.1238900070552$$
$$x_{19} = -56.548667490356$$
$$x_{20} = -72.2566308732795$$
$$x_{21} = -25.1327414647216$$
$$x_{22} = 75.3982239358177$$
$$x_{23} = 53.4070753585761$$
$$x_{24} = -69.1150380617605$$
$$x_{25} = -81.6814090379518$$
$$x_{26} = -62.8318532480223$$
$$x_{27} = -40.8407066842267$$
$$x_{28} = -69.11503862209$$
$$x_{29} = 40.8407042511736$$
$$x_{30} = 25.13274142749$$
$$x_{31} = -3.14159223666992$$
$$x_{32} = -18.8495556680998$$
$$x_{33} = 50.2654780610567$$
$$x_{34} = 91.1061871519824$$
$$x_{35} = 31.4159270278136$$
$$x_{36} = 15.7079634360324$$
$$x_{37} = 69.1150385805253$$
$$x_{38} = 12.5663704464902$$
$$x_{39} = -97.3893724395293$$
$$x_{40} = 3.14159272740328$$
$$x_{41} = 84.823001407093$$
$$x_{42} = 18.8495556684588$$
$$x_{43} = 34.5575190286501$$
$$x_{44} = -9.42477811967166$$
$$x_{45} = 62.8318524328373$$
$$x_{46} = 43.9822971694085$$
$$x_{47} = -75.3982238609893$$
$$x_{48} = -84.8230018182772$$
$$x_{49} = -65.9734457649654$$
$$x_{50} = 6.2831852840651$$
$$x_{51} = -69.115038626205$$
$$x_{52} = 72.2566310277183$$
$$x_{53} = 97.3893726684677$$
$$x_{54} = 100.530964766066$$
$$x_{55} = 87.9645943357262$$
$$x_{56} = -34.5575189366009$$
$$x_{57} = -91.1061871987871$$
$$x_{58} = 3.14159223734373$$
$$x_{59} = 56.5486676080768$$
$$x_{60} = 37.6991120171585$$
$$x_{61} = -3.14159284098784$$
$$x_{62} = 50.2654824463419$$
$$x_{63} = -28.2743337141732$$
$$x_{64} = 91.1061867261437$$
$$x_{65} = 47.1238895782348$$
$$x_{66} = -53.4070752240643$$
$$x_{67} = 84.8230010502372$$
$$x_{68} = 94.2477796093524$$
$$x_{69} = -94.2477794523719$$
$$x_{70} = -31.415926702919$$
$$x_{71} = 28.2743338651783$$
$$x_{72} = 109.955741076952$$
$$x_{73} = 9.4247781842281$$
$$x_{74} = 25.132740997054$$
$$x_{75} = -87.9645943586888$$
$$x_{76} = -47.1238900446296$$
$$x_{77} = 18.8495552650209$$
$$x_{78} = -40.8407042544435$$
$$x_{79} = 53.4070756006464$$
$$x_{80} = 69.1150381529445$$
$$x_{81} = 62.8318528295667$$
$$x_{82} = -84.8230014048764$$
$$x_{83} = 9.4247781890235$$
$$x_{84} = 97.3893725124567$$
$$x_{85} = -100.530964670637$$
$$x_{86} = -18.8495560894836$$
$$x_{87} = 31.4159267796903$$
$$x_{88} = -62.8318528306552$$
$$x_{89} = -43.9822971745494$$
$$x_{90} = -56.5486675156139$$
$$x_{91} = 251.327413254646$$
$$x_{92} = -59.6902604575823$$
$$x_{93} = -91.1061871670528$$
$$x_{94} = -15.7079632964119$$
$$x_{95} = 81.6814091750724$$
$$x_{96} = -103.672558052222$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -50.2654824574367$$
$$x_{2} = 70.6787605627689$$
$$x_{3} = 58.1108600600615$$
$$x_{4} = -20.3958423573092$$
$$x_{5} = -86.3880101981266$$
$$x_{6} = 20.3958423573092$$
$$x_{7} = 51.8266315338985$$
$$x_{8} = 72.2566310325652$$
$$x_{9} = -43.9822971502571$$
$$x_{10} = -37.6991118430775$$
$$x_{11} = 34.5575191894877$$
$$x_{12} = -2678.20755049327$$
$$x_{13} = 4.60421677720058$$
$$x_{14} = -94.2477796076938$$
$$x_{15} = 89.5298059530594$$
$$x_{16} = -21.9911485751286$$
$$x_{17} = 50.2654824574367$$
$$x_{18} = -15.707963267949$$
$$x_{19} = -23.5407082923052$$
$$x_{20} = -87.9645943005142$$
$$x_{21} = 21.9911485751286$$
$$x_{22} = -42.3997088362447$$
$$x_{23} = -72.2566310325652$$
$$x_{24} = 59.6902604182061$$
$$x_{25} = 80.1043708909521$$
$$x_{26} = -29.8283692130955$$
$$x_{27} = -80.1043708909521$$
$$x_{28} = -9.42477796076938$$
$$x_{29} = -51.8266315338985$$
$$x_{30} = 86.3880101981266$$
$$x_{31} = 36.1144715353049$$
$$x_{32} = -65.9734457253857$$
$$x_{33} = 15.707963267949$$
$$x_{34} = 23.5407082923052$$
$$x_{35} = -10.9499436485412$$
$$x_{36} = 28.2743338823081$$
$$x_{37} = 94.2477796076938$$
$$x_{38} = -7.78988375114457$$
$$x_{39} = 37.6991118430775$$
$$x_{40} = -89.5298059530594$$
$$x_{41} = 6.28318530717959$$
$$x_{42} = 26.6848024909251$$
$$x_{43} = -67.5368388204916$$
$$x_{44} = -53.4070751110265$$
$$x_{45} = 29.8283692130955$$
$$x_{46} = -6.28318530717959$$
$$x_{47} = -75.398223686155$$
$$x_{48} = 45.5421150692309$$
$$x_{49} = 42.3997088362447$$
$$x_{50} = 64.3948849627586$$
$$x_{51} = -14.1017251335659$$
$$x_{52} = 14.1017251335659$$
$$x_{53} = -64.3948849627586$$
$$x_{54} = -1740.44233008875$$
$$x_{55} = -62.8318530717959$$
$$x_{56} = -97.3893722612836$$
$$x_{57} = -45.5421150692309$$
$$x_{58} = -125.663706143592$$
$$x_{59} = -83.2461991121237$$
$$x_{60} = -28.2743338823081$$
$$x_{61} = 81.6814089933346$$
$$x_{62} = 100.530964914873$$
$$x_{63} = 7.78988375114457$$
$$x_{64} = -73.8206542907788$$
$$x_{65} = -114.663771308444$$
$$x_{66} = -95.8133575027966$$
$$x_{67} = -61.2528940466862$$
$$x_{68} = -18.8495559215388$$
$$x_{69} = 78.5398163397448$$
$$x_{70} = -17.2497818346079$$
$$x_{71} = -1.16556118520721$$
$$x_{72} = 12.5663706143592$$
$$x_{73} = 87.9645943005142$$
$$x_{74} = 48.6844162648433$$
$$x_{75} = 43.9822971502571$$
$$x_{76} = -36.1144715353049$$
$$x_{77} = -31.4159265358979$$
$$x_{78} = -81.6814089933346$$
$$x_{79} = 56.5486677646163$$
$$x_{80} = 73.8206542907788$$
$$x_{81} = -58.1108600600615$$
$$x_{82} = -39.2571723324086$$
$$x_{83} = 92.6715879363332$$
$$x_{84} = -59.6902604182061$$
$$x_{85} = 65.9734457253857$$
$$x_{86} = 67.5368388204916$$
$$x_{87} = 197.920337176157$$
$$x_{88} = 95.8133575027966$$
$$x_{89} = 53.4070751110265$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -20.3958423573092$$
$$x_{2} = -86.3880101981266$$
$$x_{3} = 72.2566310325652$$
$$x_{4} = 34.5575191894877$$
$$x_{5} = -2678.20755049327$$
$$x_{6} = 50.2654824574367$$
$$x_{7} = -23.5407082923052$$
$$x_{8} = 21.9911485751286$$
$$x_{9} = -42.3997088362447$$
$$x_{10} = 59.6902604182061$$
$$x_{11} = -29.8283692130955$$
$$x_{12} = -80.1043708909521$$
$$x_{13} = -51.8266315338985$$
$$x_{14} = 15.707963267949$$
$$x_{15} = -10.9499436485412$$
$$x_{16} = 28.2743338823081$$
$$x_{17} = 94.2477796076938$$
$$x_{18} = -7.78988375114457$$
$$x_{19} = 37.6991118430775$$
$$x_{20} = -89.5298059530594$$
$$x_{21} = 6.28318530717959$$
$$x_{22} = -67.5368388204916$$
$$x_{23} = -14.1017251335659$$
$$x_{24} = -64.3948849627586$$
$$x_{25} = -45.5421150692309$$
$$x_{26} = -83.2461991121237$$
$$x_{27} = 81.6814089933346$$
$$x_{28} = 100.530964914873$$
$$x_{29} = -73.8206542907788$$
$$x_{30} = -114.663771308444$$
$$x_{31} = -95.8133575027966$$
$$x_{32} = -61.2528940466862$$
$$x_{33} = 78.5398163397448$$
$$x_{34} = -17.2497818346079$$
$$x_{35} = -1.16556118520721$$
$$x_{36} = 12.5663706143592$$
$$x_{37} = 87.9645943005142$$
$$x_{38} = 43.9822971502571$$
$$x_{39} = -36.1144715353049$$
$$x_{40} = 56.5486677646163$$
$$x_{41} = -58.1108600600615$$
$$x_{42} = -39.2571723324086$$
$$x_{43} = 65.9734457253857$$
$$x_{44} = 197.920337176157$$
$$x_{45} = 53.4070751110265$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{45} = -50.2654824574367$$
$$x_{45} = 70.6787605627689$$
$$x_{45} = 58.1108600600615$$
$$x_{45} = 20.3958423573092$$
$$x_{45} = 51.8266315338985$$
$$x_{45} = -43.9822971502571$$
$$x_{45} = -37.6991118430775$$
$$x_{45} = 4.60421677720058$$
$$x_{45} = -94.2477796076938$$
$$x_{45} = 89.5298059530594$$
$$x_{45} = -21.9911485751286$$
$$x_{45} = -15.707963267949$$
$$x_{45} = -87.9645943005142$$
$$x_{45} = -72.2566310325652$$
$$x_{45} = 80.1043708909521$$
$$x_{45} = -9.42477796076938$$
$$x_{45} = 86.3880101981266$$
$$x_{45} = 36.1144715353049$$
$$x_{45} = -65.9734457253857$$
$$x_{45} = 23.5407082923052$$
$$x_{45} = 26.6848024909251$$
$$x_{45} = -53.4070751110265$$
$$x_{45} = 29.8283692130955$$
$$x_{45} = -6.28318530717959$$
$$x_{45} = -75.398223686155$$
$$x_{45} = 45.5421150692309$$
$$x_{45} = 42.3997088362447$$
$$x_{45} = 64.3948849627586$$
$$x_{45} = 14.1017251335659$$
$$x_{45} = -1740.44233008875$$
$$x_{45} = -62.8318530717959$$
$$x_{45} = -97.3893722612836$$
$$x_{45} = -125.663706143592$$
$$x_{45} = -28.2743338823081$$
$$x_{45} = 7.78988375114457$$
$$x_{45} = -18.8495559215388$$
$$x_{45} = 48.6844162648433$$
$$x_{45} = -31.4159265358979$$
$$x_{45} = -81.6814089933346$$
$$x_{45} = 73.8206542907788$$
$$x_{45} = 92.6715879363332$$
$$x_{45} = -59.6902604182061$$
$$x_{45} = 67.5368388204916$$
$$x_{45} = 95.8133575027966$$
Decrece en los intervalos
$$\left[197.920337176157, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2678.20755049327\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -50.2654824574367$$
$$x_{2} = 70.6787605627689$$
$$x_{3} = 58.1108600600615$$
$$x_{4} = -20.3958423573092$$
$$x_{5} = -86.3880101981266$$
$$x_{6} = 20.3958423573092$$
$$x_{7} = 51.8266315338985$$
$$x_{8} = 72.2566310325652$$
$$x_{9} = -43.9822971502571$$
$$x_{10} = -37.6991118430775$$
$$x_{11} = 34.5575191894877$$
$$x_{12} = -2678.20755049327$$
$$x_{13} = 4.60421677720058$$
$$x_{14} = -94.2477796076938$$
$$x_{15} = 89.5298059530594$$
$$x_{16} = -21.9911485751286$$
$$x_{17} = 50.2654824574367$$
$$x_{18} = -15.707963267949$$
$$x_{19} = -23.5407082923052$$
$$x_{20} = -87.9645943005142$$
$$x_{21} = 21.9911485751286$$
$$x_{22} = -42.3997088362447$$
$$x_{23} = -72.2566310325652$$
$$x_{24} = 59.6902604182061$$
$$x_{25} = 80.1043708909521$$
$$x_{26} = -29.8283692130955$$
$$x_{27} = -80.1043708909521$$
$$x_{28} = -9.42477796076938$$
$$x_{29} = -51.8266315338985$$
$$x_{30} = 86.3880101981266$$
$$x_{31} = 36.1144715353049$$
$$x_{32} = -65.9734457253857$$
$$x_{33} = 15.707963267949$$
$$x_{34} = 23.5407082923052$$
$$x_{35} = -10.9499436485412$$
$$x_{36} = 28.2743338823081$$
$$x_{37} = 94.2477796076938$$
$$x_{38} = -7.78988375114457$$
$$x_{39} = 37.6991118430775$$
$$x_{40} = -89.5298059530594$$
$$x_{41} = 6.28318530717959$$
$$x_{42} = 26.6848024909251$$
$$x_{43} = -67.5368388204916$$
$$x_{44} = -53.4070751110265$$
$$x_{45} = 29.8283692130955$$
$$x_{46} = -6.28318530717959$$
$$x_{47} = -75.398223686155$$
$$x_{48} = 45.5421150692309$$
$$x_{49} = 42.3997088362447$$
$$x_{50} = 64.3948849627586$$
$$x_{51} = -14.1017251335659$$
$$x_{52} = 14.1017251335659$$
$$x_{53} = -64.3948849627586$$
$$x_{54} = -1740.44233008875$$
$$x_{55} = -62.8318530717959$$
$$x_{56} = -97.3893722612836$$
$$x_{57} = -45.5421150692309$$
$$x_{58} = -125.663706143592$$
$$x_{59} = -83.2461991121237$$
$$x_{60} = -28.2743338823081$$
$$x_{61} = 81.6814089933346$$
$$x_{62} = 100.530964914873$$
$$x_{63} = 7.78988375114457$$
$$x_{64} = -73.8206542907788$$
$$x_{65} = -114.663771308444$$
$$x_{66} = -95.8133575027966$$
$$x_{67} = -61.2528940466862$$
$$x_{68} = -18.8495559215388$$
$$x_{69} = 78.5398163397448$$
$$x_{70} = -17.2497818346079$$
$$x_{71} = -1.16556118520721$$
$$x_{72} = 12.5663706143592$$
$$x_{73} = 87.9645943005142$$
$$x_{74} = 48.6844162648433$$
$$x_{75} = 43.9822971502571$$
$$x_{76} = -36.1144715353049$$
$$x_{77} = -31.4159265358979$$
$$x_{78} = -81.6814089933346$$
$$x_{79} = 56.5486677646163$$
$$x_{80} = 73.8206542907788$$
$$x_{81} = -58.1108600600615$$
$$x_{82} = -39.2571723324086$$
$$x_{83} = 92.6715879363332$$
$$x_{84} = -59.6902604182061$$
$$x_{85} = 65.9734457253857$$
$$x_{86} = 67.5368388204916$$
$$x_{87} = 197.920337176157$$
$$x_{88} = 95.8133575027966$$
$$x_{89} = 53.4070751110265$$
Signos de extremos en los puntos:
(-50.26548245743669, -7.63821385155396e-32)
(70.67876056276886, 0.0141478139878745)
(58.110860060061505, 0.0172072134440586)
(-20.395842357309167, -0.0490001524829528)
(-86.38801019812658, -0.0115752926793239)
(20.395842357309167, 0.0490001524829528)
(51.82663153389846, 0.0192933035363155)
(72.25663103256524, 5.6146090061508e-31)
(-43.982297150257104, -6.68343712010972e-32)
(-37.69911184307752, -5.72866038866547e-32)
(34.55751918948773, 1.40770552330931e-31)
(-2678.2075504932727, -0.000373384043728018)
(4.604216777200577, 0.214660688386019)
(-94.2477796076938, -1.24937720620631e-31)
(89.52980595305935, 0.0111691162634939)
(-21.991148575128552, -3.34171856005486e-32)
(50.26548245743669, 7.63821385155396e-32)
(-15.707963267948966, -2.38694182861061e-32)
(-23.54070829230515, -0.0424604502887016)
(-87.96459430051421, -1.33668742402194e-31)
(21.991148575128552, 3.34171856005486e-32)
(-42.39970883624466, -0.0235817882463307)
(-72.25663103256524, -5.6146090061508e-31)
(59.69026041820607, 2.51765268789636e-32)
(80.1043708909521, 0.0124832269403218)
(-29.828369213095506, -0.0335157141235985)
(-80.1043708909521, -0.0124832269403218)
(-9.42477796076938, -1.43216509716637e-32)
(-51.82663153389846, -0.0192933035363155)
(86.38801019812658, 0.0115752926793239)
(36.11447153530485, 0.0276844243853039)
(-65.97344572538566, -1.45857698861786e-32)
(15.707963267948966, 2.38694182861061e-32)
(23.54070829230515, 0.0424604502887016)
(-10.94994364854116, -0.0911346506917966)
(28.274333882308138, 4.2964952914991e-32)
(94.2477796076938, 1.24937720620631e-31)
(-7.789883751144573, -0.127844922574794)
(37.69911184307752, 5.72866038866547e-32)
(-89.52980595305935, -0.0111691162634939)
(6.283185307179586, 9.54776731444245e-33)
(26.68480249092507, 0.0374613617155508)
(-67.53683882049161, -0.0148059223769658)
(-53.40707511102649, -4.05057601793315e-32)
(29.828369213095506, 0.0335157141235985)
(-6.283185307179586, -9.54776731444245e-33)
(-75.39822368615503, -1.14573207773309e-31)
(45.5421150692309, 0.021955051448177)
(42.39970883624466, 0.0235817882463307)
(64.39488496275855, 0.0155282475514317)
(-14.101725133565873, -0.0708242711210408)
(14.101725133565873, 0.0708242711210408)
(-64.39488496275855, -0.0155282475514317)
(-1740.4423300887454, -2.11977620970517e-30)
(-62.83185307179586, -9.54776731444245e-32)
(-97.3893722612836, -4.83455425149761e-31)
(-45.5421150692309, -0.021955051448177)
(-125.66370614359172, -1.90955346288849e-31)
(-83.24619911212368, -0.0120121271188891)
(-28.274333882308138, -4.2964952914991e-32)
(81.68140899333463, 1.88255223925938e-31)
(100.53096491487338, 1.52764277031079e-31)
(7.789883751144573, 0.127844922574794)
(-73.82065429077876, -0.0135457228854227)
(-114.66377130844361, -0.00872098461732392)
(-95.81335750279658, -0.0104366739072752)
(-61.252894046686194, -0.0163246714689743)
(-18.84955592153876, -2.86433019433273e-32)
(78.53981633974483, 3.07074756807772e-33)
(-17.249781834607894, -0.0579230818110724)
(-1.1655611852072114, -0.724611353776708)
(12.566370614359172, 1.90955346288849e-32)
(87.96459430051421, 1.33668742402194e-31)
(48.68441626484328, 0.0205382874085413)
(43.982297150257104, 6.68343712010972e-32)
(-36.11447153530485, -0.0276844243853039)
(-31.41592653589793, -4.77388365722123e-32)
(-81.68140899333463, -1.88255223925938e-31)
(56.548667764616276, 8.59299058299821e-32)
(73.82065429077876, 0.0135457228854227)
(-58.110860060061505, -0.0172072134440586)
(-39.25717233240859, -0.0254689206534694)
(92.67158793633321, 0.0107904797231539)
(-59.69026041820607, -2.51765268789636e-32)
(65.97344572538566, 1.45857698861786e-32)
(67.53683882049161, 0.0148059223769658)
(197.92033717615698, 4.37573096585357e-32)
(95.81335750279658, 0.0104366739072752)
(53.40707511102649, 4.05057601793315e-32)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -20.3958423573092$$
$$x_{2} = -86.3880101981266$$
$$x_{3} = 72.2566310325652$$
$$x_{4} = 34.5575191894877$$
$$x_{5} = -2678.20755049327$$
$$x_{6} = 50.2654824574367$$
$$x_{7} = -23.5407082923052$$
$$x_{8} = 21.9911485751286$$
$$x_{9} = -42.3997088362447$$
$$x_{10} = 59.6902604182061$$
$$x_{11} = -29.8283692130955$$
$$x_{12} = -80.1043708909521$$
$$x_{13} = -51.8266315338985$$
$$x_{14} = 15.707963267949$$
$$x_{15} = -10.9499436485412$$
$$x_{16} = 28.2743338823081$$
$$x_{17} = 94.2477796076938$$
$$x_{18} = -7.78988375114457$$
$$x_{19} = 37.6991118430775$$
$$x_{20} = -89.5298059530594$$
$$x_{21} = 6.28318530717959$$
$$x_{22} = -67.5368388204916$$
$$x_{23} = -14.1017251335659$$
$$x_{24} = -64.3948849627586$$
$$x_{25} = -45.5421150692309$$
$$x_{26} = -83.2461991121237$$
$$x_{27} = 81.6814089933346$$
$$x_{28} = 100.530964914873$$
$$x_{29} = -73.8206542907788$$
$$x_{30} = -114.663771308444$$
$$x_{31} = -95.8133575027966$$
$$x_{32} = -61.2528940466862$$
$$x_{33} = 78.5398163397448$$
$$x_{34} = -17.2497818346079$$
$$x_{35} = -1.16556118520721$$
$$x_{36} = 12.5663706143592$$
$$x_{37} = 87.9645943005142$$
$$x_{38} = 43.9822971502571$$
$$x_{39} = -36.1144715353049$$
$$x_{40} = 56.5486677646163$$
$$x_{41} = -58.1108600600615$$
$$x_{42} = -39.2571723324086$$
$$x_{43} = 65.9734457253857$$
$$x_{44} = 197.920337176157$$
$$x_{45} = 53.4070751110265$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{45} = -50.2654824574367$$
$$x_{45} = 70.6787605627689$$
$$x_{45} = 58.1108600600615$$
$$x_{45} = 20.3958423573092$$
$$x_{45} = 51.8266315338985$$
$$x_{45} = -43.9822971502571$$
$$x_{45} = -37.6991118430775$$
$$x_{45} = 4.60421677720058$$
$$x_{45} = -94.2477796076938$$
$$x_{45} = 89.5298059530594$$
$$x_{45} = -21.9911485751286$$
$$x_{45} = -15.707963267949$$
$$x_{45} = -87.9645943005142$$
$$x_{45} = -72.2566310325652$$
$$x_{45} = 80.1043708909521$$
$$x_{45} = -9.42477796076938$$
$$x_{45} = 86.3880101981266$$
$$x_{45} = 36.1144715353049$$
$$x_{45} = -65.9734457253857$$
$$x_{45} = 23.5407082923052$$
$$x_{45} = 26.6848024909251$$
$$x_{45} = -53.4070751110265$$
$$x_{45} = 29.8283692130955$$
$$x_{45} = -6.28318530717959$$
$$x_{45} = -75.398223686155$$
$$x_{45} = 45.5421150692309$$
$$x_{45} = 42.3997088362447$$
$$x_{45} = 64.3948849627586$$
$$x_{45} = 14.1017251335659$$
$$x_{45} = -1740.44233008875$$
$$x_{45} = -62.8318530717959$$
$$x_{45} = -97.3893722612836$$
$$x_{45} = -125.663706143592$$
$$x_{45} = -28.2743338823081$$
$$x_{45} = 7.78988375114457$$
$$x_{45} = -18.8495559215388$$
$$x_{45} = 48.6844162648433$$
$$x_{45} = -31.4159265358979$$
$$x_{45} = -81.6814089933346$$
$$x_{45} = 73.8206542907788$$
$$x_{45} = 92.6715879363332$$
$$x_{45} = -59.6902604182061$$
$$x_{45} = 67.5368388204916$$
$$x_{45} = 95.8133575027966$$
Decrece en los intervalos
$$\left[197.920337176157, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2678.20755049327\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} - \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 54.1833299748694$$
$$x_{2} = -68.3222681391823$$
$$x_{3} = -69.8933337165055$$
$$x_{4} = -35.328963068332$$
$$x_{5} = -60.4674576690199$$
$$x_{6} = 55.7542207657436$$
$$x_{7} = -65.1803173890255$$
$$x_{8} = -76.1771010903408$$
$$x_{9} = 193.990762262228$$
$$x_{10} = -79.318950408493$$
$$x_{11} = -57.3254194271399$$
$$x_{12} = -115.449180298571$$
$$x_{13} = 47.8989575337176$$
$$x_{14} = 40.0426624361667$$
$$x_{15} = -24.3263609848619$$
$$x_{16} = 10.1633207350938$$
$$x_{17} = -410.762020724136$$
$$x_{18} = 46.3275816132535$$
$$x_{19} = -84.0316177976063$$
$$x_{20} = -55.7542207657436$$
$$x_{21} = 99.7405285299269$$
$$x_{22} = 84.0316177976063$$
$$x_{23} = -2.04278694273841$$
$$x_{24} = -38.4716808813945$$
$$x_{25} = -13.3155935768387$$
$$x_{26} = 91.8861731050591$$
$$x_{27} = -16.4638956000575$$
$$x_{28} = 68.3222681391823$$
$$x_{29} = 66.7514092373268$$
$$x_{30} = 71.4641871782887$$
$$x_{31} = 85.6025928495405$$
$$x_{32} = 19.610096072963$$
$$x_{33} = 41.6142307464496$$
$$x_{34} = -77.7479456026924$$
$$x_{35} = -25.8992016896926$$
$$x_{36} = 76.1771010903408$$
$$x_{37} = 11.7365039593478$$
$$x_{38} = -82.4607802854273$$
$$x_{39} = -91.8861731050591$$
$$x_{40} = -32.1860288367118$$
$$x_{41} = -11.7365039593478$$
$$x_{42} = -18.0356521422536$$
$$x_{43} = -47.8989575337176$$
$$x_{44} = -93.4570026652504$$
$$x_{45} = -90.3152218631357$$
$$x_{46} = 18.0356521422536$$
$$x_{47} = 3.81153864777937$$
$$x_{48} = -533.284414481252$$
$$x_{49} = 62.0383300698268$$
$$x_{50} = -10.1633207350938$$
$$x_{51} = -46.3275816132535$$
$$x_{52} = 38.4716808813945$$
$$x_{53} = 22.7550493438209$$
$$x_{54} = -98.1697030564332$$
$$x_{55} = 82.4607802854273$$
$$x_{56} = 96.598771164673$$
$$x_{57} = 24.3263609848619$$
$$x_{58} = -3128.24072495224$$
$$x_{59} = -54.1833299748694$$
$$x_{60} = 69.8933337165055$$
$$x_{61} = 74.6060785402851$$
$$x_{62} = 30.6139262842768$$
$$x_{63} = -33.7570877695276$$
$$x_{64} = 32.1860288367118$$
$$x_{65} = 25.8992016896926$$
$$x_{66} = -71.4641871782887$$
$$x_{67} = -27.4703989990655$$
$$x_{68} = 88.7443899294668$$
$$x_{69} = 8.57755878460975$$
$$x_{70} = 77.7479456026924$$
$$x_{71} = -63.609452231378$$
$$x_{72} = -85.6025928495405$$
$$x_{73} = 98.1697030564332$$
$$x_{74} = -3.81153864777937$$
$$x_{75} = 16.4638956000575$$
$$x_{76} = 90.3152218631357$$
$$x_{77} = -40.0426624361667$$
$$x_{78} = 33.7570877695276$$
$$x_{79} = 118.590888671409$$
$$x_{80} = 60.4674576690199$$
$$x_{81} = -49.4698742897642$$
$$x_{82} = -41.6142307464496$$
$$x_{83} = 52.612082538167$$
$$x_{84} = -5.3960161178562$$
$$x_{85} = -19.610096072963$$
$$x_{86} = -99.7405285299269$$
$$x_{87} = 2.04278694273841$$
$$x_{88} = 44.7566476624499$$
$$x_{89} = 63.609452231378$$
$$x_{90} = -62.0383300698268$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} - \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} - \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = 0$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[193.990762262228, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -3128.24072495224\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} - \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 54.1833299748694$$
$$x_{2} = -68.3222681391823$$
$$x_{3} = -69.8933337165055$$
$$x_{4} = -35.328963068332$$
$$x_{5} = -60.4674576690199$$
$$x_{6} = 55.7542207657436$$
$$x_{7} = -65.1803173890255$$
$$x_{8} = -76.1771010903408$$
$$x_{9} = 193.990762262228$$
$$x_{10} = -79.318950408493$$
$$x_{11} = -57.3254194271399$$
$$x_{12} = -115.449180298571$$
$$x_{13} = 47.8989575337176$$
$$x_{14} = 40.0426624361667$$
$$x_{15} = -24.3263609848619$$
$$x_{16} = 10.1633207350938$$
$$x_{17} = -410.762020724136$$
$$x_{18} = 46.3275816132535$$
$$x_{19} = -84.0316177976063$$
$$x_{20} = -55.7542207657436$$
$$x_{21} = 99.7405285299269$$
$$x_{22} = 84.0316177976063$$
$$x_{23} = -2.04278694273841$$
$$x_{24} = -38.4716808813945$$
$$x_{25} = -13.3155935768387$$
$$x_{26} = 91.8861731050591$$
$$x_{27} = -16.4638956000575$$
$$x_{28} = 68.3222681391823$$
$$x_{29} = 66.7514092373268$$
$$x_{30} = 71.4641871782887$$
$$x_{31} = 85.6025928495405$$
$$x_{32} = 19.610096072963$$
$$x_{33} = 41.6142307464496$$
$$x_{34} = -77.7479456026924$$
$$x_{35} = -25.8992016896926$$
$$x_{36} = 76.1771010903408$$
$$x_{37} = 11.7365039593478$$
$$x_{38} = -82.4607802854273$$
$$x_{39} = -91.8861731050591$$
$$x_{40} = -32.1860288367118$$
$$x_{41} = -11.7365039593478$$
$$x_{42} = -18.0356521422536$$
$$x_{43} = -47.8989575337176$$
$$x_{44} = -93.4570026652504$$
$$x_{45} = -90.3152218631357$$
$$x_{46} = 18.0356521422536$$
$$x_{47} = 3.81153864777937$$
$$x_{48} = -533.284414481252$$
$$x_{49} = 62.0383300698268$$
$$x_{50} = -10.1633207350938$$
$$x_{51} = -46.3275816132535$$
$$x_{52} = 38.4716808813945$$
$$x_{53} = 22.7550493438209$$
$$x_{54} = -98.1697030564332$$
$$x_{55} = 82.4607802854273$$
$$x_{56} = 96.598771164673$$
$$x_{57} = 24.3263609848619$$
$$x_{58} = -3128.24072495224$$
$$x_{59} = -54.1833299748694$$
$$x_{60} = 69.8933337165055$$
$$x_{61} = 74.6060785402851$$
$$x_{62} = 30.6139262842768$$
$$x_{63} = -33.7570877695276$$
$$x_{64} = 32.1860288367118$$
$$x_{65} = 25.8992016896926$$
$$x_{66} = -71.4641871782887$$
$$x_{67} = -27.4703989990655$$
$$x_{68} = 88.7443899294668$$
$$x_{69} = 8.57755878460975$$
$$x_{70} = 77.7479456026924$$
$$x_{71} = -63.609452231378$$
$$x_{72} = -85.6025928495405$$
$$x_{73} = 98.1697030564332$$
$$x_{74} = -3.81153864777937$$
$$x_{75} = 16.4638956000575$$
$$x_{76} = 90.3152218631357$$
$$x_{77} = -40.0426624361667$$
$$x_{78} = 33.7570877695276$$
$$x_{79} = 118.590888671409$$
$$x_{80} = 60.4674576690199$$
$$x_{81} = -49.4698742897642$$
$$x_{82} = -41.6142307464496$$
$$x_{83} = 52.612082538167$$
$$x_{84} = -5.3960161178562$$
$$x_{85} = -19.610096072963$$
$$x_{86} = -99.7405285299269$$
$$x_{87} = 2.04278694273841$$
$$x_{88} = 44.7566476624499$$
$$x_{89} = 63.609452231378$$
$$x_{90} = -62.0383300698268$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} - \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} - \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = 0$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[193.990762262228, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -3128.24072495224\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)^2/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x} = - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x} = \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x} = - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x} = \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar