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sin(4*x)^(2)
Trazado el gráfico de la función/ sin(4*x)^(2)

Gráfico de la función y = sin(4*x)^(2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2     
f(x) = sin (4*x)
f(x)=sin⁡2(4x)f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(4 x \right)} 
f = sin(4*x)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡2(4x)=0\sin^{2}{\left(4 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
Solución numérica
x1=−23.561944904348x_{1} = -23.561944904348
x2=47.9092880185894x_{2} = 47.9092880185894
x3=−80.1106126153058x_{3} = -80.1106126153058
x4=−73.827427284721x_{4} = -73.827427284721
x5=−54.1924733650013x_{5} = -54.1924733650013
x6=−41.6261027066714x_{6} = -41.6261027066714
x7=50.2654824465509x_{7} = 50.2654824465509
x8=84.0376034158563x_{8} = 84.0376034158563
x9=21.9911485849612x_{9} = 21.9911485849612
x10=−36.1283154690525x_{10} = -36.1283154690525
x11=−51.8362787000453x_{11} = -51.8362787000453
x12=−87.9645943624863x_{12} = -87.9645943624863
x13=−95.8185758700054x_{13} = -95.8185758700054
x14=−59.6902604533889x_{14} = -59.6902604533889
x15=−1.57079630353569x_{15} = -1.57079630353569
x16=−55.7632695908986x_{16} = -55.7632695908986
x17=−40.0553062910974x_{17} = -40.0553062910974
x18=−62.0464548704037x_{18} = -62.0464548704037
x19=73.8274273568149x_{19} = 73.8274273568149
x20=7.85398167150998x_{20} = 7.85398167150998
x21=91.8915851689525x_{21} = 91.8915851689525
x22=17.2787596266768x_{22} = 17.2787596266768
x23=23.5619448741498x_{23} = 23.5619448741498
x24=35.3429175928058x_{24} = 35.3429175928058
x25=−18.0641577125705x_{25} = -18.0641577125705
x26=29.8451302381624x_{26} = 29.8451302381624
x27=94.2477796093559x_{27} = 94.2477796093559
x28=65.9734457508308x_{28} = 65.9734457508308
x29=2.35619444269882x_{29} = 2.35619444269882
x30=28.2743338657456x_{30} = 28.2743338657456
x31=9.42477790880273x_{31} = 9.42477790880273
x32=95.8185759026543x_{32} = 95.8185759026543
x33=68.3296401731209x_{33} = 68.3296401731209
x34=−63.6172510458192x_{34} = -63.6172510458192
x35=−69.1150382292202x_{35} = -69.1150382292202
x36=−11.7809724253583x_{36} = -11.7809724253583
x37=−85.6083998504339x_{37} = -85.6083998504339
x38=90.320788751167x_{38} = 90.320788751167
x39=10.2101761581126x_{39} = 10.2101761581126
x40=−19.6349541325247x_{40} = -19.6349541325247
x41=0x_{41} = 0
x42=51.8362788007148x_{42} = 51.8362788007148
x43=76.1836217752367x_{43} = 76.1836217752367
x44=3.9269908652109x_{44} = 3.9269908652109
x45=46.3384915956412x_{45} = 46.3384915956412
x46=40.0553062077493x_{46} = 40.0553062077493
x47=−7.85398155964312x_{47} = -7.85398155964312
x48=−98.1747704333549x_{48} = -98.1747704333549
x49=−32.2013248486645x_{49} = -32.2013248486645
x50=−81.6814090320685x_{50} = -81.6814090320685
x51=−21.9911485866929x_{51} = -21.9911485866929
x52=69.9004365941675x_{52} = 69.9004365941675
x53=−59.6902604903576x_{53} = -59.6902604903576
x54=43.9822971684981x_{54} = 43.9822971684981
x55=−67.5442419591113x_{55} = -67.5442419591113
x56=−33.7721210083536x_{56} = -33.7721210083536
x57=−58.1194640416386x_{57} = -58.1194640416386
x58=−45.5530933536183x_{58} = -45.5530933536183
x59=25.918139442264x_{59} = 25.918139442264
x60=−65.9734457671945x_{60} = -65.9734457671945
x61=86.3937979349862x_{61} = 86.3937979349862
x62=87.9645943321178x_{62} = 87.9645943321178
x63=92.6769832423968x_{63} = 92.6769832423968
x64=54.192473326569x_{64} = 54.192473326569
x65=−84.0376034505423x_{65} = -84.0376034505423
x66=42.4115008033467x_{66} = 42.4115008033467
x67=−77.7544181730147x_{67} = -77.7544181730147
x68=32.2013247420843x_{68} = 32.2013247420843
x69=18.0641576074587x_{69} = 18.0641576074587
x70=−14.1371668978389x_{70} = -14.1371668978389
x71=76.9690198050052x_{71} = 76.9690198050052
x72=98.1747704968058x_{72} = 98.1747704968058
x73=−99.7455667547182x_{73} = -99.7455667547182
x74=−76.1836218908518x_{74} = -76.1836218908518
x75=−63.6172512794522x_{75} = -63.6172512794522
x76=62.0464548144506x_{76} = 62.0464548144506
x77=24.3473430188005x_{77} = 24.3473430188005
x78=72.2566310277531x_{78} = 72.2566310277531
x79=−43.982297175552x_{79} = -43.982297175552
x80=20.4203522453203x_{80} = 20.4203522453203
x81=76.1836219115335x_{81} = 76.1836219115335
x82=6.28318528533897x_{82} = 6.28318528533897
x83=−23.5619448379282x_{83} = -23.5619448379282
x84=−37.6991118742444x_{84} = -37.6991118742444
x85=64.4026493672268x_{85} = 64.4026493672268
x86=−29.8451301191193x_{86} = -29.8451301191193
x87=56.548668013759x_{87} = 56.548668013759
x88=−15.707963294662x_{88} = -15.707963294662
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(4*x)^2.
sin⁡2(0⋅4)\sin^{2}{\left(0 \cdot 4 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
8sin⁡(4x)cos⁡(4x)=08 \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(4 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π8x_{2} = - \frac{\pi}{8}
x3=π8x_{3} = \frac{\pi}{8}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

 -pi     
(----, 1)
  8      

 pi    
(--, 1)
 8


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−π8x_{1} = - \frac{\pi}{8}
x1=π8x_{1} = \frac{\pi}{8}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π8]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{8}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[π8,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{8}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
32(−sin⁡2(4x)+cos⁡2(4x))=032 \left(- \sin^{2}{\left(4 x \right)} + \cos^{2}{\left(4 x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π16x_{1} = - \frac{\pi}{16}
x2=π16x_{2} = \frac{\pi}{16}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π16,π16]\left[- \frac{\pi}{16}, \frac{\pi}{16}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−π16]∪[π16,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{16}\right] \cup \left[\frac{\pi}{16}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡2(4x)=⟨0,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin^{2}{\left(4 x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,1⟩y = \left\langle 0, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡2(4x)=⟨0,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin^{2}{\left(4 x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,1⟩y = \left\langle 0, 1\right\rangle
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡2(4x)=sin⁡2(4x)\sin^{2}{\left(4 x \right)} = \sin^{2}{\left(4 x \right)}
- Sí
sin⁡2(4x)=−sin⁡2(4x)\sin^{2}{\left(4 x \right)} = - \sin^{2}{\left(4 x \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(4*x)^(2)
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