Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-10-x+3*x^2)/(-10-x^2+7*x)
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Límite de (-1+sqrt(1+x))/x
-
Límite de x^(1/(-1+x))
-
Límite de sin(2*x)/sin(3*x)
- Integral de d{x}:
- sin(2*x)/sin(3*x)
-
Expresiones idénticas
- sin(dos *x)/sin(tres *x)
- seno de (2 multiplicar por x) dividir por seno de (3 multiplicar por x)
- seno de (dos multiplicar por x) dividir por seno de (tres multiplicar por x)
- sin(2x)/sin(3x)
- sin2x/sin3x
- sin(2*x) dividir por sin(3*x)
-
Expresiones semejantes
- log(1+sin(2*x))/sin(3*x)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(5*x)/(2*x)
- sin(3*x)/tan(2*x)
- sin(x)^2/x^2
- sin(a*x)/sin(b*x)
- sin(6*x)/(2*x)
- Seno sin
- sin(5*x)/(2*x)
- sin(3*x)/tan(2*x)
- sin(x)^2/x^2
- sin(a*x)/sin(b*x)
- sin(6*x)/(2*x)
Límite de la función sin(2*x)/sin(3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/sin(2*x)\ lim |--------| x->pi+\sin(3*x)/
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
Limit(sin(2*x)/sin(3*x), x, pi)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} \frac{x}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
Sustituimos
$$u = 2 x$$
y
$$v = 3 x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 \sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{3 \sin{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$\frac{2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\sin{\left(v \right)}}\right)}{3}$$
=
$$\frac{2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}}{3}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
y
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
=
$$\frac{2 \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}}{3}$$
=
$$\frac{2}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \frac{2}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x} \frac{x}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
Sustituimos
$$u = 2 x$$
y
$$v = 3 x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 \sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{3 \sin{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$\frac{2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\sin{\left(v \right)}}\right)}{3}$$
=
$$\frac{2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}}{3}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
y
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
=
$$\frac{2 \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}}{3}$$
=
$$\frac{2}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \frac{2}{3}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \pi^+} \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \pi^+} \sin{\left(3 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{3 \cos{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+} - \frac{2}{3}$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+} - \frac{2}{3}$$
=
$$- \frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \pi^+} \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \pi^+} \sin{\left(3 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{3 \cos{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+} - \frac{2}{3}$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+} - \frac{2}{3}$$
=
$$- \frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \pi^-}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = - \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→pi a la izquierda
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = - \frac{2}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(2 \right)}}{\sin{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(2 \right)}}{\sin{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→pi a la izquierda
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = - \frac{2}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(2 \right)}}{\sin{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(2 \right)}}{\sin{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/sin(2*x)\ lim |--------| x->pi+\sin(3*x)/
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
-2/3
$$- \frac{2}{3}$$
= -0.666666666666667
/sin(2*x)\ lim |--------| x->pi-\sin(3*x)/
$$\lim_{x \to \pi^-}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
-2/3
$$- \frac{2}{3}$$
= -0.666666666666667
= -0.666666666666667
Gráfico