Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-10-x+3*x^2)/(-10-x^2+7*x)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/x
-
Límite de x^(1/(-1+x))
-
Límite de sin(2*x)/sin(3*x)
-
Expresiones idénticas
- x^(uno /(- uno +x))
- x en el grado (1 dividir por ( menos 1 más x))
- x en el grado (uno dividir por ( menos uno más x))
- x(1/(-1+x))
- x1/-1+x
- x^1/-1+x
- x^(1 dividir por (-1+x))
-
Expresiones semejantes
- x^(1/(1+x))
- x^(1/(-1-x))
Límite de la función x^(1/(-1+x))
Solución
Ha introducido
[src]
1
------
-1 + x
lim x
x->1+
$$\lim_{x \to 1^+} x^{\frac{1}{x - 1}}$$
Limit(x^(1/(-1 + x)), x, 1)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 1^+} x^{\frac{1}{x - 1}}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{1}{x - 1}$$
entonces
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}\right)^{\frac{1}{x - 1}}$$ =
=
$$\lim_{u \to 1^+} \left(\frac{u + 1}{u}\right)^{\frac{1}{-1 + \frac{u + 1}{u}}}$$
=
$$\lim_{u \to 1^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{1}{-1 + \frac{u + 1}{u}}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to 1^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{1}{u \left(-1 + \frac{u + 1}{u}\right)}}$$
El límite
$$\lim_{u \to 1^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to 1^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{1}{u \left(-1 + \frac{u + 1}{u}\right)}} = e^{\frac{1}{u \left(-1 + \frac{u + 1}{u}\right)}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 1^+} x^{\frac{1}{x - 1}} = e$$
$$\lim_{x \to 1^+} x^{\frac{1}{x - 1}}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{1}{x - 1}$$
entonces
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}\right)^{\frac{1}{x - 1}}$$ =
=
$$\lim_{u \to 1^+} \left(\frac{u + 1}{u}\right)^{\frac{1}{-1 + \frac{u + 1}{u}}}$$
=
$$\lim_{u \to 1^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{1}{-1 + \frac{u + 1}{u}}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to 1^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{1}{u \left(-1 + \frac{u + 1}{u}\right)}}$$
El límite
$$\lim_{u \to 1^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to 1^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{1}{u \left(-1 + \frac{u + 1}{u}\right)}} = e^{\frac{1}{u \left(-1 + \frac{u + 1}{u}\right)}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 1^+} x^{\frac{1}{x - 1}} = e$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
1
------
-1 + x
lim x
x->1+
$$\lim_{x \to 1^+} x^{\frac{1}{x - 1}}$$
E
$$e$$
= 2.71828182845905
1
------
-1 + x
lim x
x->1-
$$\lim_{x \to 1^-} x^{\frac{1}{x - 1}}$$
E
$$e$$
= 2.71828182845905
= 2.71828182845905
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 1^-} x^{\frac{1}{x - 1}} = e$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} x^{\frac{1}{x - 1}} = e$$
$$\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x - 1}} = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-} x^{\frac{1}{x - 1}} = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} x^{\frac{1}{x - 1}} = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} x^{\frac{1}{x - 1}} = 1$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} x^{\frac{1}{x - 1}} = e$$
$$\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x - 1}} = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-} x^{\frac{1}{x - 1}} = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} x^{\frac{1}{x - 1}} = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} x^{\frac{1}{x - 1}} = 1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico