Sr Examen
Otras calculadoras:
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¿Cómo usar?
- Límite de la función:
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Límite de (-10-x+3*x^2)/(-10-x^2+7*x)
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Límite de (-1+sqrt(1+x))/x
-
Límite de sin(2*x)/sin(3*x)
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Límite de sin(5*x)/(2*x)
-
Expresiones idénticas
- sin(a*x)/sin(b*x)
- seno de (a multiplicar por x) dividir por seno de (b multiplicar por x)
- sin(ax)/sin(bx)
- sinax/sinbx
- sin(a*x) dividir por sin(b*x)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(2*x)/sin(3*x)
- sin(5*x)/(2*x)
- sin(3*x)/tan(2*x)
- sin(x)^2/x^2
- sin(x)/tan(3*x)
- Seno sin
- sin(2*x)/sin(3*x)
- sin(5*x)/(2*x)
- sin(3*x)/tan(2*x)
- sin(x)^2/x^2
- sin(x)/tan(3*x)
Límite de la función sin(a*x)/sin(b*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/sin(a*x)\ lim |--------| x->0+\sin(b*x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(a x \right)}}{\sin{\left(b x \right)}}\right)$$
Limit(sin(a*x)/sin(b*x), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(a x \right)}}{\sin{\left(b x \right)}}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(a x \right)}}{\sin{\left(b x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(a x \right)}}{x} \frac{x}{\sin{\left(b x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(a x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(b x \right)}}\right)$$
=
Sustituimos
$$u = a x$$
y
$$v = b x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(a x \right)}}{\sin{\left(b x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(a x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(b x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(a x \right)}}{\sin{\left(b x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{a \sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{b \sin{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$\frac{a \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\sin{\left(v \right)}}\right)}{b}$$
=
$$\frac{a \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}}{b}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
y
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
=
$$\frac{a \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}}{b}$$
=
$$\frac{a}{b}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(a x \right)}}{\sin{\left(b x \right)}}\right) = \frac{a}{b}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(a x \right)}}{\sin{\left(b x \right)}}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(a x \right)}}{\sin{\left(b x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(a x \right)}}{x} \frac{x}{\sin{\left(b x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(a x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(b x \right)}}\right)$$
=
Sustituimos
$$u = a x$$
y
$$v = b x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(a x \right)}}{\sin{\left(b x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(a x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(b x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(a x \right)}}{\sin{\left(b x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{a \sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{b \sin{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$\frac{a \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\sin{\left(v \right)}}\right)}{b}$$
=
$$\frac{a \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}}{b}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
y
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
=
$$\frac{a \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}}{b}$$
=
$$\frac{a}{b}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(a x \right)}}{\sin{\left(b x \right)}}\right) = \frac{a}{b}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(a x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(b x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(a x \right)}}{\sin{\left(b x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{\partial}{\partial x} \sin{\left(a x \right)}}{\frac{\partial}{\partial x} \sin{\left(b x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{a \cos{\left(a x \right)}}{b \cos{\left(b x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{a}{b}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{a}{b}\right)$$
=
$$\frac{a}{b}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(a x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(b x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(a x \right)}}{\sin{\left(b x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{\partial}{\partial x} \sin{\left(a x \right)}}{\frac{\partial}{\partial x} \sin{\left(b x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{a \cos{\left(a x \right)}}{b \cos{\left(b x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{a}{b}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{a}{b}\right)$$
=
$$\frac{a}{b}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
A la izquierda y a la derecha
[src]
/sin(a*x)\ lim |--------| x->0+\sin(b*x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(a x \right)}}{\sin{\left(b x \right)}}\right)$$
a - b
$$\frac{a}{b}$$
/sin(a*x)\ lim |--------| x->0-\sin(b*x)/
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(a x \right)}}{\sin{\left(b x \right)}}\right)$$
a - b
$$\frac{a}{b}$$
a/b