Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1/x
-
Límite de sin(x)/x
-
Límite de x*log(x)
-
Límite de (-1+x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(uno +x^ dos)-sqrt(- uno +x^ dos)
- raíz cuadrada de (1 más x al cuadrado ) menos raíz cuadrada de ( menos 1 más x al cuadrado )
- raíz cuadrada de (uno más x en el grado dos) menos raíz cuadrada de ( menos uno más x en el grado dos)
- √(1+x^2)-√(-1+x^2)
- sqrt(1+x2)-sqrt(-1+x2)
- sqrt1+x2-sqrt-1+x2
- sqrt(1+x²)-sqrt(-1+x²)
- sqrt(1+x en el grado 2)-sqrt(-1+x en el grado 2)
- sqrt1+x^2-sqrt-1+x^2
-
Expresiones semejantes
- sqrt(1+x^2)-sqrt(1+x^2)
- sqrt(1+x^2)+sqrt(-1+x^2)
- sqrt(1+x^2)-sqrt(-1-x^2)
- sqrt(1-x^2)-sqrt(-1+x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*log(x)
- sqrt(1+x)-sqrt(1-x)/x
- sqrt(-4+6*x)/(-2+sqrt(x))
- sqrt(1-cos(x))/x
- sqrt((1-x)/x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*log(x)
- sqrt(1+x)-sqrt(1-x)/x
- sqrt(-4+6*x)/(-2+sqrt(x))
- sqrt(1-cos(x))/x
- sqrt((1-x)/x)
Límite de la función sqrt(1+x^2)-sqrt(-1+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ________ _________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ 1 + x - \/ -1 + x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right)$$
Limit(sqrt(1 + x^2) - sqrt(-1 + x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) \left(\sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right)}{\sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x^{2} - 1}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(1 - x^{2}\right) + \left(x^{2} + 1\right)}{\sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{x \left(\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{x \left(\sqrt{\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{x \left(\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}\right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{x \left(\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u}{\sqrt{1 - u^{2}} + \sqrt{u^{2} + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{0 \cdot 2}{\sqrt{0^{2} + 1} + \sqrt{1 - 0^{2}}} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) \left(\sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right)}{\sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x^{2} - 1}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(1 - x^{2}\right) + \left(x^{2} + 1\right)}{\sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{x \left(\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{x \left(\sqrt{\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{x \left(\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}\right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{x \left(\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u}{\sqrt{1 - u^{2}} + \sqrt{u^{2} + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{0 \cdot 2}{\sqrt{0^{2} + 1} + \sqrt{1 - 0^{2}}} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 1 - i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 1 - i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 1 - i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 1 - i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico