Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin^{2}{\left(2 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{x}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(4 \cos{\left(2 x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 4$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 4$$
=
$$4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)