Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(x)/sqrt(1-cos(x))

Gráfico de la función y = sin(x)/sqrt(1-cos(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           sin(x)    
f(x) = --------------
         ____________
       \/ 1 - cos(x)
f(x)=sin⁡(x)1−cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}}} 
f = sin(x)/sqrt(1 - cos(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=6.28318530717959x_{2} = 6.28318530717959
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)1−cos⁡(x)=0\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=πx_{1} = \pi
Solución numérica
x1=−91.106186954104x_{1} = -91.106186954104
x2=84.8230016469244x_{2} = 84.8230016469244
x3=−97.3893722612836x_{3} = -97.3893722612836
x4=91.106186954104x_{4} = 91.106186954104
x5=−72.2566310325652x_{5} = -72.2566310325652
x6=−47.1238898038469x_{6} = -47.1238898038469
x7=15.707963267949x_{7} = 15.707963267949
x8=−65.9734457253857x_{8} = -65.9734457253857
x9=40.8407044966673x_{9} = 40.8407044966673
x10=65.9734457253857x_{10} = 65.9734457253857
x11=−28.2743338823081x_{11} = -28.2743338823081
x12=28.2743338823081x_{12} = 28.2743338823081
x13=−40.8407044966673x_{13} = -40.8407044966673
x14=−15.707963267949x_{14} = -15.707963267949
x15=−59.6902604182061x_{15} = -59.6902604182061
x16=72.2566310325652x_{16} = 72.2566310325652
x17=3.14159265358979x_{17} = 3.14159265358979
x18=21.9911485751286x_{18} = 21.9911485751286
x19=−84.8230016469244x_{19} = -84.8230016469244
x20=78.5398163397448x_{20} = 78.5398163397448
x21=9.42477796076938x_{21} = 9.42477796076938
x22=−122.522113490002x_{22} = -122.522113490002
x23=−53.4070751110265x_{23} = -53.4070751110265
x24=103.672557568463x_{24} = 103.672557568463
x25=−9.42477796076938x_{25} = -9.42477796076938
x26=−9861.45933961836x_{26} = -9861.45933961836
x27=−166.504410640259x_{27} = -166.504410640259
x28=−34.5575191894877x_{28} = -34.5575191894877
x29=−3.14159265358979x_{29} = -3.14159265358979
x30=−21.9911485751286x_{30} = -21.9911485751286
x31=−1674.46888436336x_{31} = -1674.46888436336
x32=−78.5398163397448x_{32} = -78.5398163397448
x33=97.3893722612836x_{33} = 97.3893722612836
x34=59.6902604182061x_{34} = 59.6902604182061
x35=53.4070751110265x_{35} = 53.4070751110265
x36=34.5575191894877x_{36} = 34.5575191894877
x37=47.1238898038469x_{37} = 47.1238898038469
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)/sqrt(1 - cos(x)).
sin⁡(0)1−cos⁡(0)\frac{\sin{\left(0 \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(0 \right)}}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)1−cos⁡(x)−sin⁡2(x)2(1−cos⁡(x))32=0\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}}} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(1+2cos⁡(x)+3sin⁡2(x)cos⁡(x)−14(1−cos⁡(x))+cos⁡(x)1−cos⁡(x))sin⁡(x)1−cos⁡(x)=0- \frac{\left(1 + \frac{2 \cos{\left(x \right)} + \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}}{4 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=6.28318530717959x_{2} = 6.28318530717959
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(sin⁡(x)1−cos⁡(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(sin⁡(x)1−cos⁡(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)/sqrt(1 - cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(sin⁡(x)x1−cos⁡(x))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(sin⁡(x)x1−cos⁡(x))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}}}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)1−cos⁡(x)=−sin⁡(x)1−cos⁡(x)\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}}} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}}}
- No
sin⁡(x)1−cos⁡(x)=sin⁡(x)1−cos⁡(x)\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}}} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(x \right)}}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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