El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0 o sea hay que resolver la ecuación: sin(x)+cos(2x)=0 Resolvermos esta ecuación Puntos de cruce con el eje X:
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0: sustituimos x = 0 en sin(x) + cos(2*x). sin(0)+cos(0⋅2) Resultado: f(0)=1 Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación dxdf(x)=0 (la derivada es igual a cero), y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función: dxdf(x)= primera derivada −2sin(2x)+cos(x)=0 Resolvermos esta ecuación Raíces de esta ecuación x1=−2π x2=2π x3=−ilog(−415+4i) x4=−ilog(415+4i) Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo: Puntos mínimos de la función: x1=−2π x2=2π Puntos máximos de la función: x2=π−atan(1515) x2=atan(1515) Decrece en los intervalos [−2π,atan(1515)]∪[2π,∞) Crece en los intervalos (−∞,−2π]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación dx2d2f(x)=0 (la segunda derivada es igual a cero), las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado: dx2d2f(x)= segunda derivada −(sin(x)+4cos(2x))=0 Resolvermos esta ecuación Raíces de esta ecuación x1=−ilog(−16263−129+16i(1+129)) x2=−ilog(16263−129+16i(1+129)) x3=−ilog(−162129+63+16i(1−129)) x4=−ilog(162129+63+16i(1−129))
Intervalos de convexidad y concavidad: Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones: Cóncava en los intervalos [−π−atan(2129+632(1−129)),atan(2129+632(1−129))]∪[atan(263−1292(1+129)),∞) Convexa en los intervalos (−∞,−π−atan(2129+632(1−129))]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo x→−∞lim(sin(x)+cos(2x))=⟨−2,2⟩ Tomamos como el límite es decir, ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda: y=⟨−2,2⟩ x→∞lim(sin(x)+cos(2x))=⟨−2,2⟩ Tomamos como el límite es decir, ecuación de la asíntota horizontal a la derecha: y=⟨−2,2⟩
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) + cos(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo x→−∞lim(xsin(x)+cos(2x))=0 Tomamos como el límite es decir, la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha x→∞lim(xsin(x)+cos(2x))=0 Tomamos como el límite es decir, la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x). Pues, comprobamos: sin(x)+cos(2x)=−sin(x)+cos(2x) - No sin(x)+cos(2x)=sin(x)−cos(2x) - No es decir, función no es par ni impar