Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ sinx+cos2x

Gráfico de la función y = sinx+cos2x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(x) + cos(2*x)
f(x)=sin⁡(x)+cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} 
f = sin(x) + cos(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)+cos⁡(2x)=0\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−5π6x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}
x2=−π6x_{2} = - \frac{\pi}{6}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=−38.2227106186758x_{1} = -38.2227106186758
x2=74.8746249105567x_{2} = 74.8746249105567
x3=−80.1106125800495x_{3} = -80.1106125800495
x4=−67.5442421664985x_{4} = -67.5442421664985
x5=−69.6386371545737x_{5} = -69.6386371545737
x6=−23.5619450081821x_{6} = -23.5619450081821
x7=−63.3554518473942x_{7} = -63.3554518473942
x8=629.88932728012x_{8} = 629.88932728012
x9=22.5147473507269x_{9} = 22.5147473507269
x10=−73.8274272801063x_{10} = -73.8274272801063
x11=20.4203521503825x_{11} = 20.4203521503825
x12=51.8362788989008x_{12} = 51.8362788989008
x13=−42.4115006190379x_{13} = -42.4115006190379
x14=30.8923277602996x_{14} = 30.8923277602996
x15=66.497044500984x_{15} = 66.497044500984
x16=76.9690198127977x_{16} = 76.9690198127977
x17=−142.942465507123x_{17} = -142.942465507123
x18=−88.4881930761125x_{18} = -88.4881930761125
x19=−48.6946859199052x_{19} = -48.6946859199052
x20=−13.0899693899575x_{20} = -13.0899693899575
x21=−10.9955748250458x_{21} = -10.9955748250458
x22=−19.3731546971371x_{22} = -19.3731546971371
x23=45.5530936891365x_{23} = 45.5530936891365
x24=−0.523598775598299x_{24} = -0.523598775598299
x25=85.3466004225227x_{25} = 85.3466004225227
x26=49.7418836818384x_{26} = 49.7418836818384
x27=93.7241808320955x_{27} = 93.7241808320955
x28=−34.0339204138894x_{28} = -34.0339204138894
x29=7.85398173972726x_{29} = 7.85398173972726
x30=−25.6563400043166x_{30} = -25.6563400043166
x31=−40.317105721069x_{31} = -40.317105721069
x32=−36.1283154198995x_{32} = -36.1283154198995
x33=91.6297857297023x_{33} = 91.6297857297023
x34=41.3643032722656x_{34} = 41.3643032722656
x35=70.6858345098172x_{35} = 70.6858345098172
x36=−46.6002910282486x_{36} = -46.6002910282486
x37=−78.0162175641465x_{37} = -78.0162175641465
x38=24.60914245312x_{38} = 24.60914245312
x39=−44.5058959258554x_{39} = -44.5058959258554
x40=−71.733032256967x_{40} = -71.733032256967
x41=68.5914396033772x_{41} = 68.5914396033772
x42=14.1371671029003x_{42} = 14.1371671029003
x43=53.9306738866248x_{43} = 53.9306738866248
x44=−29.8451300966669x_{44} = -29.8451300966669
x45=3.66519142918809x_{45} = 3.66519142918809
x46=−98.9601687457423x_{46} = -98.9601687457423
x47=60.2138591938044x_{47} = 60.2138591938044
x48=47.6474885794452x_{48} = 47.6474885794452
x49=89.5353908426683x_{49} = 89.5353908426683
x50=83.2522055084245x_{50} = 83.2522055084245
x51=95.8185760576709x_{51} = 95.8185760576709
x52=−90.5825881785057x_{52} = -90.5825881785057
x53=−61.2610569525587x_{53} = -61.2610569525587
x54=58.1194644720255x_{54} = 58.1194644720255
x55=−84.2994028713261x_{55} = -84.2994028713261
x56=−82.2050077689329x_{56} = -82.2050077689329
x57=−57.0722665402146x_{57} = -57.0722665402146
x58=5.75958653158129x_{58} = 5.75958653158129
x59=39.2699083672181x_{59} = 39.2699083672181
x60=−31.9395253114962x_{60} = -31.9395253114962
x61=−4.71238877564271x_{61} = -4.71238877564271
x62=−86.3937977736525x_{62} = -86.3937977736525
x63=−59.1666616426078x_{63} = -59.1666616426078
x64=−21.4675497995303x_{64} = -21.4675497995303
x65=12.0427718387609x_{65} = 12.0427718387609
x66=26.7035373553251x_{66} = 26.7035373553251
x67=72.7802298081635x_{67} = 72.7802298081635
x68=−2.61799387799149x_{68} = -2.61799387799149
x69=−75.9218224617533x_{69} = -75.9218224617533
x70=−17.2787597988071x_{70} = -17.2787597988071
x71=−92.6769830653709x_{71} = -92.6769830653709
x72=83.2522056280779x_{72} = 83.2522056280779
x73=−54.9778719400612x_{73} = -54.9778719400612
x74=−54.9778716096663x_{74} = -54.9778716096663
x75=−98.9601689600088x_{75} = -98.9601689600088
x76=9.94837673636768x_{76} = 9.94837673636768
x77=64.402649309204x_{77} = 64.402649309204
x78=56.025068989018x_{78} = 56.025068989018
x79=100.007366139275x_{79} = 100.007366139275
x80=97.9129710368819x_{80} = 97.9129710368819
x81=−105.243352993987x_{81} = -105.243352993987
x82=1.57079653522944x_{82} = 1.57079653522944
x83=−27.7507351067098x_{83} = -27.7507351067098
x84=62.3082542961976x_{84} = 62.3082542961976
x85=−10.9955744709241x_{85} = -10.9955744709241
x86=16.2315620435473x_{86} = 16.2315620435473
x87=18.3259571459405x_{87} = 18.3259571459405
x88=32.986722670018x_{88} = 32.986722670018
x89=−65.4498469497874x_{89} = -65.4498469497874
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x) + cos(2*x).
sin⁡(0)+cos⁡(0⋅2)\sin{\left(0 \right)} + \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(2x)+cos⁡(x)=0- 2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=−ilog⁡(−154+i4)x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{i}{4} \right)}
x4=−ilog⁡(154+i4)x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{i}{4} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi      
(----, -2)
  2       

 pi    
(--, 0)
 2     

       /    ____    \       /     /    ____    \\      /       /    ____    \\ 
       |  \/ 15    I|       |     |  \/ 15    I||      |       |  \/ 15    I|| 
(-I*log|- ------ + -|, - sin|I*log|- ------ + -|| + cos|2*I*log|- ------ + -||)
       \    4      4/       \     \    4      4//      \       \    4      4// 

       /      ____\       /     /      ____\\      /       /      ____\\ 
       |I   \/ 15 |       |     |I   \/ 15 ||      |       |I   \/ 15 || 
(-I*log|- + ------|, - sin|I*log|- + ------|| + cos|2*I*log|- + ------||)
       \4     4   /       \     \4     4   //      \       \4     4   //


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=π−atan⁡(1515)x_{2} = \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}
x2=atan⁡(1515)x_{2} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}
Decrece en los intervalos
[−π2,atan⁡(1515)]∪[π2,∞)\left[- \frac{\pi}{2}, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(sin⁡(x)+4cos⁡(2x))=0- (\sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−ilog⁡(−263−12916+i(1+129)16)x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{63 - \sqrt{129}}}{16} + \frac{i \left(1 + \sqrt{129}\right)}{16} \right)}
x2=−ilog⁡(263−12916+i(1+129)16)x_{2} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{63 - \sqrt{129}}}{16} + \frac{i \left(1 + \sqrt{129}\right)}{16} \right)}
x3=−ilog⁡(−2129+6316+i(1−129)16)x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{129} + 63}}{16} + \frac{i \left(1 - \sqrt{129}\right)}{16} \right)}
x4=−ilog⁡(2129+6316+i(1−129)16)x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{129} + 63}}{16} + \frac{i \left(1 - \sqrt{129}\right)}{16} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π−atan⁡(2(1−129)2129+63),atan⁡(2(1−129)2129+63)]∪[atan⁡(2(1+129)263−129),∞)\left[- \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{129}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{129} + 63}} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{129}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{129} + 63}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 + \sqrt{129}\right)}{2 \sqrt{63 - \sqrt{129}}} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π−atan⁡(2(1−129)2129+63)]\left(-\infty, - \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{129}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{129} + 63}} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)+cos⁡(2x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x)+cos⁡(2x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) + cos(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)+cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x)+cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)+cos⁡(2x)=−sin⁡(x)+cos⁡(2x)\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}
- No
sin⁡(x)+cos⁡(2x)=sin⁡(x)−cos⁡(2x)\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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