Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sinx/3

Gráfico de la función y = sinx/3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       sin(x)
f(x) = ------
         3
f(x)=sin⁡(x)3f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{3} 
f = sin(x)/3
Gráfico de la función
-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.53.00.00.51.01.52.02.50.5-0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)3=0\frac{\sin{\left(x \right)}}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Solución numérica
x1=62.8318530717959x_{1} = 62.8318530717959
x2=−50.2654824574367x_{2} = -50.2654824574367
x3=47.1238898038469x_{3} = 47.1238898038469
x4=84.8230016469244x_{4} = 84.8230016469244
x5=−53.4070751110265x_{5} = -53.4070751110265
x6=91.106186954104x_{6} = 91.106186954104
x7=−84.8230016469244x_{7} = -84.8230016469244
x8=25.1327412287183x_{8} = 25.1327412287183
x9=−3.14159265358979x_{9} = -3.14159265358979
x10=−6.28318530717959x_{10} = -6.28318530717959
x11=−40.8407044966673x_{11} = -40.8407044966673
x12=−18.8495559215388x_{12} = -18.8495559215388
x13=78.5398163397448x_{13} = 78.5398163397448
x14=−75.398223686155x_{14} = -75.398223686155
x15=−9.42477796076938x_{15} = -9.42477796076938
x16=72.2566310325652x_{16} = 72.2566310325652
x17=−43.9822971502571x_{17} = -43.9822971502571
x18=31.4159265358979x_{18} = 31.4159265358979
x19=9.42477796076938x_{19} = 9.42477796076938
x20=−267.035375555132x_{20} = -267.035375555132
x21=40.8407044966673x_{21} = 40.8407044966673
x22=−69.1150383789755x_{22} = -69.1150383789755
x23=12.5663706143592x_{23} = 12.5663706143592
x24=87.9645943005142x_{24} = 87.9645943005142
x25=59.6902604182061x_{25} = 59.6902604182061
x26=−37.6991118430775x_{26} = -37.6991118430775
x27=−100.530964914873x_{27} = -100.530964914873
x28=−91.106186954104x_{28} = -91.106186954104
x29=97.3893722612836x_{29} = 97.3893722612836
x30=0x_{30} = 0
x31=−12.5663706143592x_{31} = -12.5663706143592
x32=−78.5398163397448x_{32} = -78.5398163397448
x33=−232.477856365645x_{33} = -232.477856365645
x34=18.8495559215388x_{34} = 18.8495559215388
x35=−94.2477796076938x_{35} = -94.2477796076938
x36=34.5575191894877x_{36} = 34.5575191894877
x37=−113.097335529233x_{37} = -113.097335529233
x38=43.9822971502571x_{38} = 43.9822971502571
x39=−31.4159265358979x_{39} = -31.4159265358979
x40=−81.6814089933346x_{40} = -81.6814089933346
x41=−65.9734457253857x_{41} = -65.9734457253857
x42=75.398223686155x_{42} = 75.398223686155
x43=56.5486677646163x_{43} = 56.5486677646163
x44=3.14159265358979x_{44} = 3.14159265358979
x45=15.707963267949x_{45} = 15.707963267949
x46=−56.5486677646163x_{46} = -56.5486677646163
x47=−21.9911485751286x_{47} = -21.9911485751286
x48=50.2654824574367x_{48} = 50.2654824574367
x49=−15.707963267949x_{49} = -15.707963267949
x50=28.2743338823081x_{50} = 28.2743338823081
x51=94.2477796076938x_{51} = 94.2477796076938
x52=−59.6902604182061x_{52} = -59.6902604182061
x53=−62.8318530717959x_{53} = -62.8318530717959
x54=69.1150383789755x_{54} = 69.1150383789755
x55=−34.5575191894877x_{55} = -34.5575191894877
x56=−97.3893722612836x_{56} = -97.3893722612836
x57=21.9911485751286x_{57} = 21.9911485751286
x58=65.9734457253857x_{58} = 65.9734457253857
x59=37.6991118430775x_{59} = 37.6991118430775
x60=−87.9645943005142x_{60} = -87.9645943005142
x61=−72.2566310325652x_{61} = -72.2566310325652
x62=−25.1327412287183x_{62} = -25.1327412287183
x63=−28.2743338823081x_{63} = -28.2743338823081
x64=81.6814089933346x_{64} = 81.6814089933346
x65=6.28318530717959x_{65} = 6.28318530717959
x66=100.530964914873x_{66} = 100.530964914873
x67=53.4070751110265x_{67} = 53.4070751110265
x68=−47.1238898038469x_{68} = -47.1238898038469
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)/3.
sin⁡(0)3\frac{\sin{\left(0 \right)}}{3}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)3=0\frac{\cos{\left(x \right)}}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi  1 
(--, -)
 2   3 

 3*pi       
(----, -1/3)
  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3π2x_{1} = \frac{3 \pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x)3=0- \frac{\sin{\left(x \right)}}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)3)=⟨−13,13⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{3}\right) = \left\langle - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−13,13⟩y = \left\langle - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x)3)=⟨−13,13⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{3}\right) = \left\langle - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−13,13⟩y = \left\langle - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)/3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)3x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{3 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x)3x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{3 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)3=−sin⁡(x)3\frac{\sin{\left(x \right)}}{3} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{3}
- No
sin⁡(x)3=sin⁡(x)3\frac{\sin{\left(x \right)}}{3} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{3}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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