Sr Examen

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(1-cos(x))/x
Límite de la función/ cos(x)/ (1-cos(x))/x

Límite de la función (1-cos(x))/x

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /1 - cos(x)\
 lim |----------|
x->0+\    x     /
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) 
Limit((1 - cos(x))/x, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+x=0\lim_{x \to 0^+} x = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(1−cos⁡(x))ddxx)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)
=
lim⁡x→0+sin⁡(x)\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(x \right)}
=
lim⁡x→0+sin⁡(x)\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(x \right)}
=
00
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-10102-2
Trazar el gráfico
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /1 - cos(x)\
 lim |----------|
x->0+\    x     /
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) 
0
00 
= -1.17374659842979e-32
     /1 - cos(x)\
 lim |----------|
x->0-\    x     /
lim⁡x→0−(1−cos⁡(x)x)\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) 
0
00 
= 1.17374659842979e-32
= 1.17374659842979e-32
Respuesta rápida [src] 
0
00
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(1−cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
lim⁡x→∞(1−cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(1−cos⁡(x)x)=1−cos⁡(1)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 1 - \cos{\left(1 \right)}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(1−cos⁡(x)x)=1−cos⁡(1)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 1 - \cos{\left(1 \right)}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(1−cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src] 
-1.17374659842979e-32
-1.17374659842979e-32
Gráfico
Límite de la función (1-cos(x))/x
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