Sr Examen

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tan(5*x)/x
Límite de la función/ tan(5*x)/ tan(5*x)/x

Límite de la función tan(5*x)/x

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /tan(5*x)\
 lim |--------|
x->oo\   x    /
lim⁡x→∞(tan⁡(5x)x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(5 x \right)}}{x}\right) 
Limit(tan(5*x)/x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
lim⁡x→0+(tan⁡(5x)x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(5 x \right)}}{x}\right)
cambiamos
lim⁡x→0+(tan⁡(5x)x)=lim⁡x→0+(sin⁡(5x)xcos⁡(5x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(5 x \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x \cos{\left(5 x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(sin⁡(5x)x)lim⁡x→0+1cos⁡(5x)=lim⁡x→0+(sin⁡(5x)x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cos{\left(5 x \right)}} = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x}\right)
Sustituimos
u=5xu = 5 x
entonces
lim⁡x→0+(sin⁡(5x)x)=lim⁡u→0+(5sin⁡(u)u)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{u}\right)
=
5lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)5 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)
El límite
lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)
hay el primer límite, es igual a 1.

Entonces la respuesta definitiva es:
lim⁡x→0+(tan⁡(5x)x)=5\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(5 x \right)}}{x}\right) = 5
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-50100
Trazar el gráfico
Respuesta rápida [src] 
     /tan(5*x)\
 lim |--------|
x->oo\   x    /
lim⁡x→∞(tan⁡(5x)x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(5 x \right)}}{x}\right)
Abrir y simplificar
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /tan(5*x)\
 lim |--------|
x->0+\   x    /
lim⁡x→0+(tan⁡(5x)x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(5 x \right)}}{x}\right) 
5
55 
= 5.0
     /tan(5*x)\
 lim |--------|
x->0-\   x    /
lim⁡x→0−(tan⁡(5x)x)\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\tan{\left(5 x \right)}}{x}\right) 
5
55 
= 5.0
= 5.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→∞(tan⁡(5x)x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(5 x \right)}}{x}\right)
lim⁡x→0−(tan⁡(5x)x)=5\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\tan{\left(5 x \right)}}{x}\right) = 5
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(tan⁡(5x)x)=5\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(5 x \right)}}{x}\right) = 5
Más detalles con x→0 a la derecha
lim⁡x→1−(tan⁡(5x)x)=tan⁡(5)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\tan{\left(5 x \right)}}{x}\right) = \tan{\left(5 \right)}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(tan⁡(5x)x)=tan⁡(5)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\tan{\left(5 x \right)}}{x}\right) = \tan{\left(5 \right)}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(tan⁡(5x)x)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(5 x \right)}}{x}\right)
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src] 
5.0
5.0
Gráfico
Límite de la función tan(5*x)/x
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