Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x*exp(-x)
-
(1/2)^x
-
-x^2+3*x
-
(x-3)^2
-
Expresiones idénticas
- (uno -cosx)/(x^ dos)
- (1 menos coseno de x) dividir por (x al cuadrado )
- (uno menos coseno de x) dividir por (x en el grado dos)
- (1-cosx)/(x2)
- 1-cosx/x2
- (1-cosx)/(x²)
- (1-cosx)/(x en el grado 2)
- 1-cosx/x^2
- (1-cosx) dividir por (x^2)
-
Expresiones semejantes
- (1+cosx)/(x^2)
-
Expresiones con funciones
- cosx
- cosx*cos2x
- cosx+1
- cosx/|sinx|
- cosx-1+x^2
- cosx-|cosx|
Gráfico de la función y = (1-cosx)/(x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
1 - cos(x)
f(x) = ----------
2
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
f = (1 - cos(x))/x^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2 \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = -62.8318534649472$$
$$x_{2} = 37.6991108186645$$
$$x_{3} = 18.8495563328137$$
$$x_{4} = 50.2654824463285$$
$$x_{5} = -6.2831851024088$$
$$x_{6} = 94.2477792039061$$
$$x_{7} = -18.849556280551$$
$$x_{8} = -12.5663709886702$$
$$x_{9} = -12.5663701928159$$
$$x_{10} = 25.1327407984158$$
$$x_{11} = -238.761043156455$$
$$x_{12} = -43.9822975465957$$
$$x_{13} = 62.8318535339473$$
$$x_{14} = 62.8318527786103$$
$$x_{15} = -62.831863538801$$
$$x_{16} = -43.9822971744808$$
$$x_{17} = -94.2477800936746$$
$$x_{18} = 50.265482878775$$
$$x_{19} = -31.4159251397495$$
$$x_{20} = -37.6991112623766$$
$$x_{21} = -25.1327406912539$$
$$x_{22} = -87.9645947288122$$
$$x_{23} = -50.26548292433$$
$$x_{24} = -69.1150378843794$$
$$x_{25} = -75.3982227106821$$
$$x_{26} = -100.530966107056$$
$$x_{27} = 18.8495562402486$$
$$x_{28} = 6.28318528383988$$
$$x_{29} = 615.75223387666$$
$$x_{30} = -50.2654823437827$$
$$x_{31} = -37.6991119218115$$
$$x_{32} = -94.2477799320641$$
$$x_{33} = -43.9823106482567$$
$$x_{34} = -69.1150386804025$$
$$x_{35} = 100.530964758741$$
$$x_{36} = 6.2831839162719$$
$$x_{37} = -31.4159267112335$$
$$x_{38} = -25.1327415130761$$
$$x_{39} = -94.2477795742125$$
$$x_{40} = 37.699113477718$$
$$x_{41} = 25.132741604817$$
$$x_{42} = -100.530964622049$$
$$x_{43} = 62.8318537989466$$
$$x_{44} = 31.4159268317665$$
$$x_{45} = 999.026539452294$$
$$x_{46} = 12.5663699205299$$
$$x_{47} = -87.964593868177$$
$$x_{48} = -6.28318551307897$$
$$x_{49} = 37.6991120269657$$
$$x_{50} = 87.9645945259691$$
$$x_{51} = 43.9822973193343$$
$$x_{52} = -50.2654822837128$$
$$x_{53} = 31.4159260193027$$
$$x_{54} = -87.9645943584489$$
$$x_{55} = 50.2654820137177$$
$$x_{56} = -62.8318531787238$$
$$x_{57} = -113.097337167454$$
$$x_{58} = 43.9822965913968$$
$$x_{59} = -12.5663702736785$$
$$x_{60} = 81.6814084607256$$
$$x_{61} = -37.699111545658$$
$$x_{62} = -31.4159259505911$$
$$x_{63} = 94.2477796093522$$
$$x_{64} = -56.5486689506328$$
$$x_{65} = 81.6814082753175$$
$$x_{66} = -81.6814090381197$$
$$x_{67} = 75.3982238735113$$
$$x_{68} = 100.530964985289$$
$$x_{69} = 69.1150379770714$$
$$x_{70} = -56.5486682178103$$
$$x_{71} = 6.28318325977485$$
$$x_{72} = 94.2477800532258$$
$$x_{73} = -56.5486674611179$$
$$x_{74} = 12.5663709771202$$
$$x_{75} = 56.5486682432518$$
$$x_{76} = 18.8495556046711$$
$$x_{77} = 75.3982239968282$$
$$x_{78} = 87.9645943358427$$
$$x_{79} = 69.1150387810133$$
$$x_{80} = 81.6814091875845$$
$$x_{81} = 56.5486677662762$$
$$x_{82} = -43.982296668693$$
$$x_{83} = -62.8318526597593$$
$$x_{84} = -18.8495554685467$$
$$x_{85} = -37.6991118771277$$
$$x_{86} = 56.5486675990625$$
$$x_{87} = -81.6814091610451$$
$$x_{88} = -75.3982238720728$$
$$x_{89} = -75.3982231443749$$
$$x_{90} = 87.9645937762976$$
$$x_{91} = 12.5663704316993$$
$$x_{92} = 37.6991112773793$$
$$x_{93} = -6.28318343659183$$
$$x_{94} = -6.28318370279736$$
$$x_{95} = 6.28318517164063$$
$$x_{96} = 43.9822971694279$$
$$x_{97} = -94.2477794440236$$
$$x_{98} = 75.3982232009371$$
$$x_{99} = 106.814150266336$$
$$x_{100} = -81.6814084568261$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2 \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = -62.8318534649472$$
$$x_{2} = 37.6991108186645$$
$$x_{3} = 18.8495563328137$$
$$x_{4} = 50.2654824463285$$
$$x_{5} = -6.2831851024088$$
$$x_{6} = 94.2477792039061$$
$$x_{7} = -18.849556280551$$
$$x_{8} = -12.5663709886702$$
$$x_{9} = -12.5663701928159$$
$$x_{10} = 25.1327407984158$$
$$x_{11} = -238.761043156455$$
$$x_{12} = -43.9822975465957$$
$$x_{13} = 62.8318535339473$$
$$x_{14} = 62.8318527786103$$
$$x_{15} = -62.831863538801$$
$$x_{16} = -43.9822971744808$$
$$x_{17} = -94.2477800936746$$
$$x_{18} = 50.265482878775$$
$$x_{19} = -31.4159251397495$$
$$x_{20} = -37.6991112623766$$
$$x_{21} = -25.1327406912539$$
$$x_{22} = -87.9645947288122$$
$$x_{23} = -50.26548292433$$
$$x_{24} = -69.1150378843794$$
$$x_{25} = -75.3982227106821$$
$$x_{26} = -100.530966107056$$
$$x_{27} = 18.8495562402486$$
$$x_{28} = 6.28318528383988$$
$$x_{29} = 615.75223387666$$
$$x_{30} = -50.2654823437827$$
$$x_{31} = -37.6991119218115$$
$$x_{32} = -94.2477799320641$$
$$x_{33} = -43.9823106482567$$
$$x_{34} = -69.1150386804025$$
$$x_{35} = 100.530964758741$$
$$x_{36} = 6.2831839162719$$
$$x_{37} = -31.4159267112335$$
$$x_{38} = -25.1327415130761$$
$$x_{39} = -94.2477795742125$$
$$x_{40} = 37.699113477718$$
$$x_{41} = 25.132741604817$$
$$x_{42} = -100.530964622049$$
$$x_{43} = 62.8318537989466$$
$$x_{44} = 31.4159268317665$$
$$x_{45} = 999.026539452294$$
$$x_{46} = 12.5663699205299$$
$$x_{47} = -87.964593868177$$
$$x_{48} = -6.28318551307897$$
$$x_{49} = 37.6991120269657$$
$$x_{50} = 87.9645945259691$$
$$x_{51} = 43.9822973193343$$
$$x_{52} = -50.2654822837128$$
$$x_{53} = 31.4159260193027$$
$$x_{54} = -87.9645943584489$$
$$x_{55} = 50.2654820137177$$
$$x_{56} = -62.8318531787238$$
$$x_{57} = -113.097337167454$$
$$x_{58} = 43.9822965913968$$
$$x_{59} = -12.5663702736785$$
$$x_{60} = 81.6814084607256$$
$$x_{61} = -37.699111545658$$
$$x_{62} = -31.4159259505911$$
$$x_{63} = 94.2477796093522$$
$$x_{64} = -56.5486689506328$$
$$x_{65} = 81.6814082753175$$
$$x_{66} = -81.6814090381197$$
$$x_{67} = 75.3982238735113$$
$$x_{68} = 100.530964985289$$
$$x_{69} = 69.1150379770714$$
$$x_{70} = -56.5486682178103$$
$$x_{71} = 6.28318325977485$$
$$x_{72} = 94.2477800532258$$
$$x_{73} = -56.5486674611179$$
$$x_{74} = 12.5663709771202$$
$$x_{75} = 56.5486682432518$$
$$x_{76} = 18.8495556046711$$
$$x_{77} = 75.3982239968282$$
$$x_{78} = 87.9645943358427$$
$$x_{79} = 69.1150387810133$$
$$x_{80} = 81.6814091875845$$
$$x_{81} = 56.5486677662762$$
$$x_{82} = -43.982296668693$$
$$x_{83} = -62.8318526597593$$
$$x_{84} = -18.8495554685467$$
$$x_{85} = -37.6991118771277$$
$$x_{86} = 56.5486675990625$$
$$x_{87} = -81.6814091610451$$
$$x_{88} = -75.3982238720728$$
$$x_{89} = -75.3982231443749$$
$$x_{90} = 87.9645937762976$$
$$x_{91} = 12.5663704316993$$
$$x_{92} = 37.6991112773793$$
$$x_{93} = -6.28318343659183$$
$$x_{94} = -6.28318370279736$$
$$x_{95} = 6.28318517164063$$
$$x_{96} = 43.9822971694279$$
$$x_{97} = -94.2477794440236$$
$$x_{98} = 75.3982232009371$$
$$x_{99} = 106.814150266336$$
$$x_{100} = -81.6814084568261$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 69.1150383789755$$
$$x_{2} = 21.8082433188578$$
$$x_{3} = -59.6231975817859$$
$$x_{4} = 65.912778079645$$
$$x_{5} = 91.0622680279826$$
$$x_{6} = 72.2012444887512$$
$$x_{7} = 12.5663706143592$$
$$x_{8} = -69.1150383789755$$
$$x_{9} = -100.530964914873$$
$$x_{10} = 34.4415105438615$$
$$x_{11} = 8.98681891581813$$
$$x_{12} = -65.912778079645$$
$$x_{13} = -91.0622680279826$$
$$x_{14} = -719.419157645404$$
$$x_{15} = -25.1327412287183$$
$$x_{16} = -197.900125648664$$
$$x_{17} = -81.6814089933346$$
$$x_{18} = 18.8495559215388$$
$$x_{19} = 94.2477796076938$$
$$x_{20} = -78.4888647223284$$
$$x_{21} = 15.4505036738754$$
$$x_{22} = 75.398223686155$$
$$x_{23} = -62.8318530717959$$
$$x_{24} = 245.044226980004$$
$$x_{25} = -40.7426059185751$$
$$x_{26} = 28.1323878256629$$
$$x_{27} = -56.5486677646163$$
$$x_{28} = -28.1323878256629$$
$$x_{29} = -97.3482884639088$$
$$x_{30} = -18.8495559215388$$
$$x_{31} = 87.9645943005142$$
$$x_{32} = 31.4159265358979$$
$$x_{33} = -21.8082433188578$$
$$x_{34} = 25.1327412287183$$
$$x_{35} = 56.5486677646163$$
$$x_{36} = 6.28318530717959$$
$$x_{37} = 125.663706143592$$
$$x_{38} = 43.9822971502571$$
$$x_{39} = -53.3321085176254$$
$$x_{40} = 172.764444069457$$
$$x_{41} = -12.5663706143592$$
$$x_{42} = -84.7758271362638$$
$$x_{43} = -50.2654824574367$$
$$x_{44} = -15.4505036738754$$
$$x_{45} = 59.6231975817859$$
$$x_{46} = 53.3321085176254$$
$$x_{47} = 100.530964914873$$
$$x_{48} = 78.4888647223284$$
$$x_{49} = 169.646003293849$$
$$x_{50} = -75.398223686155$$
$$x_{51} = 81.6814089933346$$
$$x_{52} = 84.7758271362638$$
$$x_{53} = -87.9645943005142$$
$$x_{54} = 37.6991118430775$$
$$x_{55} = -6.28318530717959$$
$$x_{56} = -34.4415105438615$$
$$x_{57} = 97.3482884639088$$
$$x_{58} = 50.2654824574367$$
$$x_{59} = -47.038904997378$$
$$x_{60} = -37.6991118430775$$
$$x_{61} = 47.038904997378$$
$$x_{62} = -8.98681891581813$$
$$x_{63} = -103.633964974559$$
$$x_{64} = 62.8318530717959$$
$$x_{65} = -31.4159265358979$$
$$x_{66} = -94.2477796076938$$
$$x_{67} = -72.2012444887512$$
$$x_{68} = -43.9822971502571$$
$$x_{69} = 40.7426059185751$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 69.1150383789755$$
$$x_{2} = 12.5663706143592$$
$$x_{3} = -69.1150383789755$$
$$x_{4} = -100.530964914873$$
$$x_{5} = -25.1327412287183$$
$$x_{6} = -81.6814089933346$$
$$x_{7} = 18.8495559215388$$
$$x_{8} = 94.2477796076938$$
$$x_{9} = 75.398223686155$$
$$x_{10} = -62.8318530717959$$
$$x_{11} = 245.044226980004$$
$$x_{12} = -56.5486677646163$$
$$x_{13} = -18.8495559215388$$
$$x_{14} = 87.9645943005142$$
$$x_{15} = 31.4159265358979$$
$$x_{16} = 25.1327412287183$$
$$x_{17} = 56.5486677646163$$
$$x_{18} = 6.28318530717959$$
$$x_{19} = 125.663706143592$$
$$x_{20} = 43.9822971502571$$
$$x_{21} = -12.5663706143592$$
$$x_{22} = -50.2654824574367$$
$$x_{23} = 100.530964914873$$
$$x_{24} = 169.646003293849$$
$$x_{25} = -75.398223686155$$
$$x_{26} = 81.6814089933346$$
$$x_{27} = -87.9645943005142$$
$$x_{28} = 37.6991118430775$$
$$x_{29} = -6.28318530717959$$
$$x_{30} = 50.2654824574367$$
$$x_{31} = -37.6991118430775$$
$$x_{32} = 62.8318530717959$$
$$x_{33} = -31.4159265358979$$
$$x_{34} = -94.2477796076938$$
$$x_{35} = -43.9822971502571$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{35} = 21.8082433188578$$
$$x_{35} = -59.6231975817859$$
$$x_{35} = 65.912778079645$$
$$x_{35} = 91.0622680279826$$
$$x_{35} = 72.2012444887512$$
$$x_{35} = 34.4415105438615$$
$$x_{35} = 8.98681891581813$$
$$x_{35} = -65.912778079645$$
$$x_{35} = -91.0622680279826$$
$$x_{35} = -719.419157645404$$
$$x_{35} = -197.900125648664$$
$$x_{35} = -78.4888647223284$$
$$x_{35} = 15.4505036738754$$
$$x_{35} = -40.7426059185751$$
$$x_{35} = 28.1323878256629$$
$$x_{35} = -28.1323878256629$$
$$x_{35} = -97.3482884639088$$
$$x_{35} = -21.8082433188578$$
$$x_{35} = -53.3321085176254$$
$$x_{35} = 172.764444069457$$
$$x_{35} = -84.7758271362638$$
$$x_{35} = -15.4505036738754$$
$$x_{35} = 59.6231975817859$$
$$x_{35} = 53.3321085176254$$
$$x_{35} = 78.4888647223284$$
$$x_{35} = 84.7758271362638$$
$$x_{35} = -34.4415105438615$$
$$x_{35} = 97.3482884639088$$
$$x_{35} = -47.038904997378$$
$$x_{35} = 47.038904997378$$
$$x_{35} = -8.98681891581813$$
$$x_{35} = -103.633964974559$$
$$x_{35} = -72.2012444887512$$
$$x_{35} = 40.7426059185751$$
Decrece en los intervalos
$$\left[245.044226980004, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -100.530964914873\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 69.1150383789755$$
$$x_{2} = 21.8082433188578$$
$$x_{3} = -59.6231975817859$$
$$x_{4} = 65.912778079645$$
$$x_{5} = 91.0622680279826$$
$$x_{6} = 72.2012444887512$$
$$x_{7} = 12.5663706143592$$
$$x_{8} = -69.1150383789755$$
$$x_{9} = -100.530964914873$$
$$x_{10} = 34.4415105438615$$
$$x_{11} = 8.98681891581813$$
$$x_{12} = -65.912778079645$$
$$x_{13} = -91.0622680279826$$
$$x_{14} = -719.419157645404$$
$$x_{15} = -25.1327412287183$$
$$x_{16} = -197.900125648664$$
$$x_{17} = -81.6814089933346$$
$$x_{18} = 18.8495559215388$$
$$x_{19} = 94.2477796076938$$
$$x_{20} = -78.4888647223284$$
$$x_{21} = 15.4505036738754$$
$$x_{22} = 75.398223686155$$
$$x_{23} = -62.8318530717959$$
$$x_{24} = 245.044226980004$$
$$x_{25} = -40.7426059185751$$
$$x_{26} = 28.1323878256629$$
$$x_{27} = -56.5486677646163$$
$$x_{28} = -28.1323878256629$$
$$x_{29} = -97.3482884639088$$
$$x_{30} = -18.8495559215388$$
$$x_{31} = 87.9645943005142$$
$$x_{32} = 31.4159265358979$$
$$x_{33} = -21.8082433188578$$
$$x_{34} = 25.1327412287183$$
$$x_{35} = 56.5486677646163$$
$$x_{36} = 6.28318530717959$$
$$x_{37} = 125.663706143592$$
$$x_{38} = 43.9822971502571$$
$$x_{39} = -53.3321085176254$$
$$x_{40} = 172.764444069457$$
$$x_{41} = -12.5663706143592$$
$$x_{42} = -84.7758271362638$$
$$x_{43} = -50.2654824574367$$
$$x_{44} = -15.4505036738754$$
$$x_{45} = 59.6231975817859$$
$$x_{46} = 53.3321085176254$$
$$x_{47} = 100.530964914873$$
$$x_{48} = 78.4888647223284$$
$$x_{49} = 169.646003293849$$
$$x_{50} = -75.398223686155$$
$$x_{51} = 81.6814089933346$$
$$x_{52} = 84.7758271362638$$
$$x_{53} = -87.9645943005142$$
$$x_{54} = 37.6991118430775$$
$$x_{55} = -6.28318530717959$$
$$x_{56} = -34.4415105438615$$
$$x_{57} = 97.3482884639088$$
$$x_{58} = 50.2654824574367$$
$$x_{59} = -47.038904997378$$
$$x_{60} = -37.6991118430775$$
$$x_{61} = 47.038904997378$$
$$x_{62} = -8.98681891581813$$
$$x_{63} = -103.633964974559$$
$$x_{64} = 62.8318530717959$$
$$x_{65} = -31.4159265358979$$
$$x_{66} = -94.2477796076938$$
$$x_{67} = -72.2012444887512$$
$$x_{68} = -43.9822971502571$$
$$x_{69} = 40.7426059185751$$
Signos de extremos en los puntos:
(69.11503837897546, 0)
(21.808243318857798, 0.00417014633533631)
(-59.62319758178592, 0.000561967339101509)
(65.91277807964495, 0.000459929312424257)
(91.06226802798255, 0.00024107025574655)
(72.20124448875121, 0.000383360637454652)
(12.566370614359172, 0)
(-69.11503837897546, 0)
(-100.53096491487338, 0)
(34.44151054386154, 0.00168036493363077)
(8.986818915818128, 0.0235952246129056)
(-65.91277807964495, 0.000459929312424257)
(-91.06226802798255, 0.00024107025574655)
(-719.4191576454039, 3.86422710095088e-6)
(-25.132741228718345, 0)
(-197.90012564866376, 5.10614921724493e-5)
(-81.68140899333463, 0)
(18.84955592153876, 0)
(94.2477796076938, 0)
(-78.48886472232839, 0.000324438216936361)
(15.450503673875414, 0.00824001299648697)
(75.39822368615503, 0)
(-62.83185307179586, 0)
(245.04422698000388, 0)
(-40.74260591857512, 0.00120195201548074)
(28.132387825662946, 0.00251435936561617)
(-56.548667764616276, 0)
(-28.132387825662946, 0.00251435936561617)
(-97.34828846390877, 0.000210955126120699)
(-18.84955592153876, 0)
(87.96459430051421, 0)
(31.41592653589793, 0)
(-21.808243318857798, 0.00417014633533631)
(25.132741228718345, 0)
(56.548667764616276, 0)
(6.283185307179586, 0)
(125.66370614359172, 0)
(43.982297150257104, 0)
(-53.33210851762535, 0.000702169824387774)
(172.76444406945743, 6.69981890382762e-5)
(-12.566370614359172, 0)
(-84.77582713626384, 0.000278127721683679)
(-50.26548245743669, 0)
(-15.450503673875414, 0.00824001299648697)
(59.62319758178592, 0.000561967339101509)
(53.33210851762535, 0.000702169824387774)
(100.53096491487338, 0)
(78.48886472232839, 0.000324438216936361)
(169.64600329384882, 0)
(-75.39822368615503, 0)
(81.68140899333463, 0)
(84.77582713626384, 0.000278127721683679)
(-87.96459430051421, 0)
(37.69911184307752, 0)
(-6.283185307179586, 0)
(-34.44151054386154, 0.00168036493363077)
(97.34828846390877, 0.000210955126120699)
(50.26548245743669, 0)
(-47.03890499737801, 0.000902258929282338)
(-37.69911184307752, 0)
(47.03890499737801, 0.000902258929282338)
(-8.986818915818128, 0.0235952246129056)
(-103.63396497455933, 0.000186150432117959)
(62.83185307179586, 0)
(-31.41592653589793, 0)
(-94.2477796076938, 0)
(-72.20124448875121, 0.000383360637454652)
(-43.982297150257104, 0)
(40.74260591857512, 0.00120195201548074)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 69.1150383789755$$
$$x_{2} = 12.5663706143592$$
$$x_{3} = -69.1150383789755$$
$$x_{4} = -100.530964914873$$
$$x_{5} = -25.1327412287183$$
$$x_{6} = -81.6814089933346$$
$$x_{7} = 18.8495559215388$$
$$x_{8} = 94.2477796076938$$
$$x_{9} = 75.398223686155$$
$$x_{10} = -62.8318530717959$$
$$x_{11} = 245.044226980004$$
$$x_{12} = -56.5486677646163$$
$$x_{13} = -18.8495559215388$$
$$x_{14} = 87.9645943005142$$
$$x_{15} = 31.4159265358979$$
$$x_{16} = 25.1327412287183$$
$$x_{17} = 56.5486677646163$$
$$x_{18} = 6.28318530717959$$
$$x_{19} = 125.663706143592$$
$$x_{20} = 43.9822971502571$$
$$x_{21} = -12.5663706143592$$
$$x_{22} = -50.2654824574367$$
$$x_{23} = 100.530964914873$$
$$x_{24} = 169.646003293849$$
$$x_{25} = -75.398223686155$$
$$x_{26} = 81.6814089933346$$
$$x_{27} = -87.9645943005142$$
$$x_{28} = 37.6991118430775$$
$$x_{29} = -6.28318530717959$$
$$x_{30} = 50.2654824574367$$
$$x_{31} = -37.6991118430775$$
$$x_{32} = 62.8318530717959$$
$$x_{33} = -31.4159265358979$$
$$x_{34} = -94.2477796076938$$
$$x_{35} = -43.9822971502571$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{35} = 21.8082433188578$$
$$x_{35} = -59.6231975817859$$
$$x_{35} = 65.912778079645$$
$$x_{35} = 91.0622680279826$$
$$x_{35} = 72.2012444887512$$
$$x_{35} = 34.4415105438615$$
$$x_{35} = 8.98681891581813$$
$$x_{35} = -65.912778079645$$
$$x_{35} = -91.0622680279826$$
$$x_{35} = -719.419157645404$$
$$x_{35} = -197.900125648664$$
$$x_{35} = -78.4888647223284$$
$$x_{35} = 15.4505036738754$$
$$x_{35} = -40.7426059185751$$
$$x_{35} = 28.1323878256629$$
$$x_{35} = -28.1323878256629$$
$$x_{35} = -97.3482884639088$$
$$x_{35} = -21.8082433188578$$
$$x_{35} = -53.3321085176254$$
$$x_{35} = 172.764444069457$$
$$x_{35} = -84.7758271362638$$
$$x_{35} = -15.4505036738754$$
$$x_{35} = 59.6231975817859$$
$$x_{35} = 53.3321085176254$$
$$x_{35} = 78.4888647223284$$
$$x_{35} = 84.7758271362638$$
$$x_{35} = -34.4415105438615$$
$$x_{35} = 97.3482884639088$$
$$x_{35} = -47.038904997378$$
$$x_{35} = 47.038904997378$$
$$x_{35} = -8.98681891581813$$
$$x_{35} = -103.633964974559$$
$$x_{35} = -72.2012444887512$$
$$x_{35} = 40.7426059185751$$
Decrece en los intervalos
$$\left[245.044226980004, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -100.530964914873\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{4 \sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{6 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}{x^{2}}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -7.4144569281165$$
$$x_{2} = 73.7720976264654$$
$$x_{3} = -98.9191157001159$$
$$x_{4} = 51.7612194989417$$
$$x_{5} = 2.60616342185561$$
$$x_{6} = -48.6098380914692$$
$$x_{7} = 61.194077945117$$
$$x_{8} = -2.60616342185561$$
$$x_{9} = 39.1716546993425$$
$$x_{10} = -89.4914388962793$$
$$x_{11} = -10.5620648126053$$
$$x_{12} = 7.4144569281165$$
$$x_{13} = 887.495425187411$$
$$x_{14} = -83.2049930785316$$
$$x_{15} = -86.3466644132886$$
$$x_{16} = -45.4679907819814$$
$$x_{17} = -142.91418226402$$
$$x_{18} = 13.8788496402477$$
$$x_{19} = -51.7612194989417$$
$$x_{20} = 70.6303965638466$$
$$x_{21} = 48.6098380914692$$
$$x_{22} = 54.9030104821856$$
$$x_{23} = -237.173273178795$$
$$x_{24} = 86.3466644132886$$
$$x_{25} = 67.4836428454212$$
$$x_{26} = -92.6330997569468$$
$$x_{27} = -61.194077945117$$
$$x_{28} = 98.9191157001159$$
$$x_{29} = 10.5620648126053$$
$$x_{30} = 1277.05428515371$$
$$x_{31} = 95.7774633534361$$
$$x_{32} = -42.3135862158589$$
$$x_{33} = 26.5612831467777$$
$$x_{34} = -17.0227015753487$$
$$x_{35} = -29.7035811594339$$
$$x_{36} = 32.8705018721625$$
$$x_{37} = 89.4914388962793$$
$$x_{38} = 20.2369613974299$$
$$x_{39} = 17.0227015753487$$
$$x_{40} = 83.2049930785316$$
$$x_{41} = 23.3797164409097$$
$$x_{42} = -26.5612831467777$$
$$x_{43} = -80.0597089609147$$
$$x_{44} = -20.2369613974299$$
$$x_{45} = -32.8705018721625$$
$$x_{46} = -95.7774633534361$$
$$x_{47} = 58.0523264799188$$
$$x_{48} = 64.3419201670335$$
$$x_{49} = -67.4836428454212$$
$$x_{50} = 29.7035811594339$$
$$x_{51} = -23.3797164409097$$
$$x_{52} = 80.0597089609147$$
$$x_{53} = -39.1716546993425$$
$$x_{54} = 42.3135862158589$$
$$x_{55} = -13.8788496402477$$
$$x_{56} = 45.4679907819814$$
$$x_{57} = -36.0125674161738$$
$$x_{58} = -58.0523264799188$$
$$x_{59} = -190.045473675927$$
$$x_{60} = -76.9180245407825$$
$$x_{61} = -54.9030104821856$$
$$x_{62} = 92.6330997569468$$
$$x_{63} = 76.9180245407825$$
$$x_{64} = -70.6303965638466$$
$$x_{65} = -73.7720976264654$$
$$x_{66} = 36.0125674161738$$
$$x_{67} = -64.3419201670335$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{4 \sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{6 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}{x^{2}}}{x^{2}}\right) = - \frac{1}{12}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{4 \sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{6 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}{x^{2}}}{x^{2}}\right) = - \frac{1}{12}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[98.9191157001159, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -190.045473675927\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{4 \sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{6 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}{x^{2}}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -7.4144569281165$$
$$x_{2} = 73.7720976264654$$
$$x_{3} = -98.9191157001159$$
$$x_{4} = 51.7612194989417$$
$$x_{5} = 2.60616342185561$$
$$x_{6} = -48.6098380914692$$
$$x_{7} = 61.194077945117$$
$$x_{8} = -2.60616342185561$$
$$x_{9} = 39.1716546993425$$
$$x_{10} = -89.4914388962793$$
$$x_{11} = -10.5620648126053$$
$$x_{12} = 7.4144569281165$$
$$x_{13} = 887.495425187411$$
$$x_{14} = -83.2049930785316$$
$$x_{15} = -86.3466644132886$$
$$x_{16} = -45.4679907819814$$
$$x_{17} = -142.91418226402$$
$$x_{18} = 13.8788496402477$$
$$x_{19} = -51.7612194989417$$
$$x_{20} = 70.6303965638466$$
$$x_{21} = 48.6098380914692$$
$$x_{22} = 54.9030104821856$$
$$x_{23} = -237.173273178795$$
$$x_{24} = 86.3466644132886$$
$$x_{25} = 67.4836428454212$$
$$x_{26} = -92.6330997569468$$
$$x_{27} = -61.194077945117$$
$$x_{28} = 98.9191157001159$$
$$x_{29} = 10.5620648126053$$
$$x_{30} = 1277.05428515371$$
$$x_{31} = 95.7774633534361$$
$$x_{32} = -42.3135862158589$$
$$x_{33} = 26.5612831467777$$
$$x_{34} = -17.0227015753487$$
$$x_{35} = -29.7035811594339$$
$$x_{36} = 32.8705018721625$$
$$x_{37} = 89.4914388962793$$
$$x_{38} = 20.2369613974299$$
$$x_{39} = 17.0227015753487$$
$$x_{40} = 83.2049930785316$$
$$x_{41} = 23.3797164409097$$
$$x_{42} = -26.5612831467777$$
$$x_{43} = -80.0597089609147$$
$$x_{44} = -20.2369613974299$$
$$x_{45} = -32.8705018721625$$
$$x_{46} = -95.7774633534361$$
$$x_{47} = 58.0523264799188$$
$$x_{48} = 64.3419201670335$$
$$x_{49} = -67.4836428454212$$
$$x_{50} = 29.7035811594339$$
$$x_{51} = -23.3797164409097$$
$$x_{52} = 80.0597089609147$$
$$x_{53} = -39.1716546993425$$
$$x_{54} = 42.3135862158589$$
$$x_{55} = -13.8788496402477$$
$$x_{56} = 45.4679907819814$$
$$x_{57} = -36.0125674161738$$
$$x_{58} = -58.0523264799188$$
$$x_{59} = -190.045473675927$$
$$x_{60} = -76.9180245407825$$
$$x_{61} = -54.9030104821856$$
$$x_{62} = 92.6330997569468$$
$$x_{63} = 76.9180245407825$$
$$x_{64} = -70.6303965638466$$
$$x_{65} = -73.7720976264654$$
$$x_{66} = 36.0125674161738$$
$$x_{67} = -64.3419201670335$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{4 \sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{6 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}{x^{2}}}{x^{2}}\right) = - \frac{1}{12}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{4 \sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{6 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}{x^{2}}}{x^{2}}\right) = - \frac{1}{12}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[98.9191157001159, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -190.045473675927\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 - cos(x))/x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} = \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
- Sí
$$\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} = - \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} = \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
- Sí
$$\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} = - \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
- No
es decir, función
es
par