Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
3/(x^2+1)
-
(1/3)^x
-
x/(x^3+2)
-
y=2x-3
-
Expresiones idénticas
- (uno +cos(x))/x
- (1 más coseno de (x)) dividir por x
- (uno más coseno de (x)) dividir por x
- 1+cosx/x
- (1+cos(x)) dividir por x
-
Expresiones semejantes
- (1-cos(x))/x
- (1+cosx)/x
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x),x
- cos(x)-sqrt(3)*sin(x)
- cos(3x)+3cos(x)
- cos(x)*e^x
- cos(x)+sin(2*x)/2
Gráfico de la función y = (1+cos(x))/x
Solución
Ha introducido
[src]
1 + cos(x)
f(x) = ----------
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x}$$
f = (cos(x) + 1)/x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = -15.7079633360896$$
$$x_{2} = -91.1061864740646$$
$$x_{3} = -40.8407048905025$$
$$x_{4} = -97.3893724524824$$
$$x_{5} = 9.42477824522119$$
$$x_{6} = -28.2743343549045$$
$$x_{7} = 15.7079634470871$$
$$x_{8} = -28.2743338085311$$
$$x_{9} = 3.14159295485917$$
$$x_{10} = -97.3893717372023$$
$$x_{11} = 72.2566310277169$$
$$x_{12} = -59.6902604577438$$
$$x_{13} = 958.185757046208$$
$$x_{14} = 40.8407049627545$$
$$x_{15} = -34.5575203552595$$
$$x_{16} = -97.3893714809928$$
$$x_{17} = -34.5575196459487$$
$$x_{18} = 53.4070754202298$$
$$x_{19} = 78.5398168423732$$
$$x_{20} = -91.1061872629307$$
$$x_{21} = 116.238911986049$$
$$x_{22} = 47.123889402027$$
$$x_{23} = -21.9911480930588$$
$$x_{24} = 9.42477740376207$$
$$x_{25} = 78.5398164979331$$
$$x_{26} = -53.4070743239768$$
$$x_{27} = 84.8230021249244$$
$$x_{28} = -21.9911489783129$$
$$x_{29} = -65.9734461708474$$
$$x_{30} = 15.7079622060617$$
$$x_{31} = 59.6902602175539$$
$$x_{32} = -53.4070745765549$$
$$x_{33} = 65.9734459897915$$
$$x_{34} = 72.256630656682$$
$$x_{35} = -21.991148586429$$
$$x_{36} = -28.2743337044571$$
$$x_{37} = -47.1238893125088$$
$$x_{38} = 40.8407042012327$$
$$x_{39} = -3.14159289587022$$
$$x_{40} = 65.973445752956$$
$$x_{41} = -84.8230020513102$$
$$x_{42} = -65.973445764876$$
$$x_{43} = -47.123890103677$$
$$x_{44} = 21.9911480146302$$
$$x_{45} = -59.6902598948281$$
$$x_{46} = 72.2566314937548$$
$$x_{47} = -47.1238897845322$$
$$x_{48} = 21.9911504378094$$
$$x_{49} = 15.7079626859982$$
$$x_{50} = -72.2566310742307$$
$$x_{51} = 21.9911472569555$$
$$x_{52} = 97.3893717891282$$
$$x_{53} = -59.6902606318082$$
$$x_{54} = 21.9911501136688$$
$$x_{55} = -78.5398160446852$$
$$x_{56} = 91.1061865624362$$
$$x_{57} = -197.920329199208$$
$$x_{58} = 97.3893725791873$$
$$x_{59} = -72.2566315269131$$
$$x_{60} = -97.3893744406124$$
$$x_{61} = 21.9911485851958$$
$$x_{62} = 47.1238902068628$$
$$x_{63} = 53.4070746289822$$
$$x_{64} = -91.1061868565768$$
$$x_{65} = -84.8230012463222$$
$$x_{66} = -15.7079626645131$$
$$x_{67} = 28.2743343156322$$
$$x_{68} = -65.9734453187365$$
$$x_{69} = 91.1061873667666$$
$$x_{70} = -40.8407040846935$$
$$x_{71} = -15.7079632964851$$
$$x_{72} = 34.5575190200753$$
$$x_{73} = 179.070787703886$$
$$x_{74} = -72.2566308649321$$
$$x_{75} = -59.6902609730457$$
$$x_{76} = -3.14159179672595$$
$$x_{77} = -9.42477731294084$$
$$x_{78} = -78.5398169122209$$
$$x_{79} = 91.1061863403424$$
$$x_{80} = -78.5398168102871$$
$$x_{81} = 28.274333454086$$
$$x_{82} = 34.5575192607047$$
$$x_{83} = 78.5398161797687$$
$$x_{84} = 59.6902598603332$$
$$x_{85} = -34.5575188836103$$
$$x_{86} = 65.9734452145909$$
$$x_{87} = -9.42477812949905$$
$$x_{88} = 84.8230013613497$$
$$x_{89} = 34.5575196754943$$
$$x_{90} = 21.9911487653177$$
$$x_{91} = 28.2743338651569$$
$$x_{92} = 3.14159206272542$$
$$x_{93} = 59.6902606090451$$
$$x_{94} = -53.4070752935774$$
$$x_{95} = 59.6902598928167$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = -15.7079633360896$$
$$x_{2} = -91.1061864740646$$
$$x_{3} = -40.8407048905025$$
$$x_{4} = -97.3893724524824$$
$$x_{5} = 9.42477824522119$$
$$x_{6} = -28.2743343549045$$
$$x_{7} = 15.7079634470871$$
$$x_{8} = -28.2743338085311$$
$$x_{9} = 3.14159295485917$$
$$x_{10} = -97.3893717372023$$
$$x_{11} = 72.2566310277169$$
$$x_{12} = -59.6902604577438$$
$$x_{13} = 958.185757046208$$
$$x_{14} = 40.8407049627545$$
$$x_{15} = -34.5575203552595$$
$$x_{16} = -97.3893714809928$$
$$x_{17} = -34.5575196459487$$
$$x_{18} = 53.4070754202298$$
$$x_{19} = 78.5398168423732$$
$$x_{20} = -91.1061872629307$$
$$x_{21} = 116.238911986049$$
$$x_{22} = 47.123889402027$$
$$x_{23} = -21.9911480930588$$
$$x_{24} = 9.42477740376207$$
$$x_{25} = 78.5398164979331$$
$$x_{26} = -53.4070743239768$$
$$x_{27} = 84.8230021249244$$
$$x_{28} = -21.9911489783129$$
$$x_{29} = -65.9734461708474$$
$$x_{30} = 15.7079622060617$$
$$x_{31} = 59.6902602175539$$
$$x_{32} = -53.4070745765549$$
$$x_{33} = 65.9734459897915$$
$$x_{34} = 72.256630656682$$
$$x_{35} = -21.991148586429$$
$$x_{36} = -28.2743337044571$$
$$x_{37} = -47.1238893125088$$
$$x_{38} = 40.8407042012327$$
$$x_{39} = -3.14159289587022$$
$$x_{40} = 65.973445752956$$
$$x_{41} = -84.8230020513102$$
$$x_{42} = -65.973445764876$$
$$x_{43} = -47.123890103677$$
$$x_{44} = 21.9911480146302$$
$$x_{45} = -59.6902598948281$$
$$x_{46} = 72.2566314937548$$
$$x_{47} = -47.1238897845322$$
$$x_{48} = 21.9911504378094$$
$$x_{49} = 15.7079626859982$$
$$x_{50} = -72.2566310742307$$
$$x_{51} = 21.9911472569555$$
$$x_{52} = 97.3893717891282$$
$$x_{53} = -59.6902606318082$$
$$x_{54} = 21.9911501136688$$
$$x_{55} = -78.5398160446852$$
$$x_{56} = 91.1061865624362$$
$$x_{57} = -197.920329199208$$
$$x_{58} = 97.3893725791873$$
$$x_{59} = -72.2566315269131$$
$$x_{60} = -97.3893744406124$$
$$x_{61} = 21.9911485851958$$
$$x_{62} = 47.1238902068628$$
$$x_{63} = 53.4070746289822$$
$$x_{64} = -91.1061868565768$$
$$x_{65} = -84.8230012463222$$
$$x_{66} = -15.7079626645131$$
$$x_{67} = 28.2743343156322$$
$$x_{68} = -65.9734453187365$$
$$x_{69} = 91.1061873667666$$
$$x_{70} = -40.8407040846935$$
$$x_{71} = -15.7079632964851$$
$$x_{72} = 34.5575190200753$$
$$x_{73} = 179.070787703886$$
$$x_{74} = -72.2566308649321$$
$$x_{75} = -59.6902609730457$$
$$x_{76} = -3.14159179672595$$
$$x_{77} = -9.42477731294084$$
$$x_{78} = -78.5398169122209$$
$$x_{79} = 91.1061863403424$$
$$x_{80} = -78.5398168102871$$
$$x_{81} = 28.274333454086$$
$$x_{82} = 34.5575192607047$$
$$x_{83} = 78.5398161797687$$
$$x_{84} = 59.6902598603332$$
$$x_{85} = -34.5575188836103$$
$$x_{86} = 65.9734452145909$$
$$x_{87} = -9.42477812949905$$
$$x_{88} = 84.8230013613497$$
$$x_{89} = 34.5575196754943$$
$$x_{90} = 21.9911487653177$$
$$x_{91} = 28.2743338651569$$
$$x_{92} = 3.14159206272542$$
$$x_{93} = 59.6902606090451$$
$$x_{94} = -53.4070752935774$$
$$x_{95} = 59.6902598928167$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -50.2256674407532$$
$$x_{2} = -87.941852980689$$
$$x_{3} = 25.0529526753384$$
$$x_{4} = 84.8230016469244$$
$$x_{5} = 47.1238898038469$$
$$x_{6} = 100.511067265113$$
$$x_{7} = -53.4070751110265$$
$$x_{8} = -37.6459978360151$$
$$x_{9} = 91.106186954104$$
$$x_{10} = -84.8230016469244$$
$$x_{11} = 5.95017264337656$$
$$x_{12} = -3.14159265358979$$
$$x_{13} = -69.086091013299$$
$$x_{14} = 87.941852980689$$
$$x_{15} = -279.601746169492$$
$$x_{16} = -40.8407044966673$$
$$x_{17} = 62.8000086337252$$
$$x_{18} = -62.8000086337252$$
$$x_{19} = -100.511067265113$$
$$x_{20} = -12.4054996335861$$
$$x_{21} = 78.5398163397448$$
$$x_{22} = 477.51789502706$$
$$x_{23} = -18.7429502117119$$
$$x_{24} = -9.42477796076938$$
$$x_{25} = 94.2265549654551$$
$$x_{26} = 72.2566310325652$$
$$x_{27} = 56.5132815466599$$
$$x_{28} = 9.42477796076938$$
$$x_{29} = 43.9367850637406$$
$$x_{30} = 40.8407044966673$$
$$x_{31} = 59.6902604182061$$
$$x_{32} = -25.0529526753384$$
$$x_{33} = -91.106186954104$$
$$x_{34} = 97.3893722612836$$
$$x_{35} = 34.5575191894877$$
$$x_{36} = 75.3716900810604$$
$$x_{37} = -78.5398163397448$$
$$x_{38} = 37.6459978360151$$
$$x_{39} = 31.3521566903887$$
$$x_{40} = 779.112411068009$$
$$x_{41} = 81.6569174978428$$
$$x_{42} = -65.9734457253857$$
$$x_{43} = -43.9367850637406$$
$$x_{44} = 12.4054996335861$$
$$x_{45} = 3.14159265358979$$
$$x_{46} = 15.707963267949$$
$$x_{47} = -31.3521566903887$$
$$x_{48} = -21.9911485751286$$
$$x_{49} = 18.7429502117119$$
$$x_{50} = -15.707963267949$$
$$x_{51} = 69.086091013299$$
$$x_{52} = 128.805298797182$$
$$x_{53} = -94.2265549654551$$
$$x_{54} = 28.2743338823081$$
$$x_{55} = -59.6902604182061$$
$$x_{56} = -408.402147842567$$
$$x_{57} = -81.6569174978428$$
$$x_{58} = -97.3893722612836$$
$$x_{59} = 21.9911485751286$$
$$x_{60} = 65.9734457253857$$
$$x_{61} = -34.5575191894877$$
$$x_{62} = -72.2566310325652$$
$$x_{63} = 50.2256674407532$$
$$x_{64} = -75.3716900810604$$
$$x_{65} = -28.2743338823081$$
$$x_{66} = -56.5132815466599$$
$$x_{67} = -5.95017264337656$$
$$x_{68} = 53.4070751110265$$
$$x_{69} = -47.1238898038469$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -50.2256674407532$$
$$x_{2} = -87.941852980689$$
$$x_{3} = 84.8230016469244$$
$$x_{4} = 47.1238898038469$$
$$x_{5} = -37.6459978360151$$
$$x_{6} = 91.106186954104$$
$$x_{7} = -69.086091013299$$
$$x_{8} = -62.8000086337252$$
$$x_{9} = -100.511067265113$$
$$x_{10} = -12.4054996335861$$
$$x_{11} = 78.5398163397448$$
$$x_{12} = -18.7429502117119$$
$$x_{13} = 72.2566310325652$$
$$x_{14} = 9.42477796076938$$
$$x_{15} = 40.8407044966673$$
$$x_{16} = 59.6902604182061$$
$$x_{17} = -25.0529526753384$$
$$x_{18} = 97.3893722612836$$
$$x_{19} = 34.5575191894877$$
$$x_{20} = -43.9367850637406$$
$$x_{21} = 3.14159265358979$$
$$x_{22} = 15.707963267949$$
$$x_{23} = -31.3521566903887$$
$$x_{24} = 128.805298797182$$
$$x_{25} = -94.2265549654551$$
$$x_{26} = 28.2743338823081$$
$$x_{27} = -408.402147842567$$
$$x_{28} = -81.6569174978428$$
$$x_{29} = 21.9911485751286$$
$$x_{30} = 65.9734457253857$$
$$x_{31} = -75.3716900810604$$
$$x_{32} = -56.5132815466599$$
$$x_{33} = -5.95017264337656$$
$$x_{34} = 53.4070751110265$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{34} = 25.0529526753384$$
$$x_{34} = 100.511067265113$$
$$x_{34} = -53.4070751110265$$
$$x_{34} = -84.8230016469244$$
$$x_{34} = 5.95017264337656$$
$$x_{34} = -3.14159265358979$$
$$x_{34} = 87.941852980689$$
$$x_{34} = -279.601746169492$$
$$x_{34} = -40.8407044966673$$
$$x_{34} = 62.8000086337252$$
$$x_{34} = 477.51789502706$$
$$x_{34} = -9.42477796076938$$
$$x_{34} = 94.2265549654551$$
$$x_{34} = 56.5132815466599$$
$$x_{34} = 43.9367850637406$$
$$x_{34} = -91.106186954104$$
$$x_{34} = 75.3716900810604$$
$$x_{34} = -78.5398163397448$$
$$x_{34} = 37.6459978360151$$
$$x_{34} = 31.3521566903887$$
$$x_{34} = 779.112411068009$$
$$x_{34} = 81.6569174978428$$
$$x_{34} = -65.9734457253857$$
$$x_{34} = 12.4054996335861$$
$$x_{34} = -21.9911485751286$$
$$x_{34} = 18.7429502117119$$
$$x_{34} = -15.707963267949$$
$$x_{34} = 69.086091013299$$
$$x_{34} = -59.6902604182061$$
$$x_{34} = -97.3893722612836$$
$$x_{34} = -34.5575191894877$$
$$x_{34} = -72.2566310325652$$
$$x_{34} = 50.2256674407532$$
$$x_{34} = -28.2743338823081$$
$$x_{34} = -47.1238898038469$$
Decrece en los intervalos
$$\left[128.805298797182, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -408.402147842567\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -50.2256674407532$$
$$x_{2} = -87.941852980689$$
$$x_{3} = 25.0529526753384$$
$$x_{4} = 84.8230016469244$$
$$x_{5} = 47.1238898038469$$
$$x_{6} = 100.511067265113$$
$$x_{7} = -53.4070751110265$$
$$x_{8} = -37.6459978360151$$
$$x_{9} = 91.106186954104$$
$$x_{10} = -84.8230016469244$$
$$x_{11} = 5.95017264337656$$
$$x_{12} = -3.14159265358979$$
$$x_{13} = -69.086091013299$$
$$x_{14} = 87.941852980689$$
$$x_{15} = -279.601746169492$$
$$x_{16} = -40.8407044966673$$
$$x_{17} = 62.8000086337252$$
$$x_{18} = -62.8000086337252$$
$$x_{19} = -100.511067265113$$
$$x_{20} = -12.4054996335861$$
$$x_{21} = 78.5398163397448$$
$$x_{22} = 477.51789502706$$
$$x_{23} = -18.7429502117119$$
$$x_{24} = -9.42477796076938$$
$$x_{25} = 94.2265549654551$$
$$x_{26} = 72.2566310325652$$
$$x_{27} = 56.5132815466599$$
$$x_{28} = 9.42477796076938$$
$$x_{29} = 43.9367850637406$$
$$x_{30} = 40.8407044966673$$
$$x_{31} = 59.6902604182061$$
$$x_{32} = -25.0529526753384$$
$$x_{33} = -91.106186954104$$
$$x_{34} = 97.3893722612836$$
$$x_{35} = 34.5575191894877$$
$$x_{36} = 75.3716900810604$$
$$x_{37} = -78.5398163397448$$
$$x_{38} = 37.6459978360151$$
$$x_{39} = 31.3521566903887$$
$$x_{40} = 779.112411068009$$
$$x_{41} = 81.6569174978428$$
$$x_{42} = -65.9734457253857$$
$$x_{43} = -43.9367850637406$$
$$x_{44} = 12.4054996335861$$
$$x_{45} = 3.14159265358979$$
$$x_{46} = 15.707963267949$$
$$x_{47} = -31.3521566903887$$
$$x_{48} = -21.9911485751286$$
$$x_{49} = 18.7429502117119$$
$$x_{50} = -15.707963267949$$
$$x_{51} = 69.086091013299$$
$$x_{52} = 128.805298797182$$
$$x_{53} = -94.2265549654551$$
$$x_{54} = 28.2743338823081$$
$$x_{55} = -59.6902604182061$$
$$x_{56} = -408.402147842567$$
$$x_{57} = -81.6569174978428$$
$$x_{58} = -97.3893722612836$$
$$x_{59} = 21.9911485751286$$
$$x_{60} = 65.9734457253857$$
$$x_{61} = -34.5575191894877$$
$$x_{62} = -72.2566310325652$$
$$x_{63} = 50.2256674407532$$
$$x_{64} = -75.3716900810604$$
$$x_{65} = -28.2743338823081$$
$$x_{66} = -56.5132815466599$$
$$x_{67} = -5.95017264337656$$
$$x_{68} = 53.4070751110265$$
$$x_{69} = -47.1238898038469$$
Signos de extremos en los puntos:
(-50.22566744075319, -0.0398044981539202)
(-87.94185298068903, -0.022739359696793)
(25.0529526753384, 0.0797039218326035)
(84.82300164692441, 0)
(47.1238898038469, 0)
(100.51106726511297, 0.0198963368185454)
(-53.40707511102649, 0)
(-37.645997836015106, -0.0530890372838442)
(91.106186954104, 0)
(-84.82300164692441, 0)
(5.9501726433765585, 0.326891661078669)
(-3.141592653589793, 0)
(-69.08609101329898, -0.028943323105097)
(87.94185298068903, 0.022739359696793)
(-279.6017461694916, 0)
(-40.840704496667314, 0)
(62.80000863372525, 0.0318390562713079)
(-62.80000863372525, -0.0318390562713079)
(-100.51106726511297, -0.0198963368185454)
(-12.405499633586086, -0.160178002058028)
(78.53981633974483, 0)
(477.5178950270596, 0.00418830634377207)
(-18.742950211711907, -0.106403899511075)
(-9.42477796076938, 0)
(94.22655496545507, 0.0212230487092482)
(72.25663103256524, 0)
(56.51328154665989, 0.0353788334069361)
(9.42477796076938, 0)
(43.936785063740594, 0.0454963762334591)
(40.840704496667314, 0)
(59.69026041820607, 0)
(-25.0529526753384, -0.0797039218326035)
(-91.106186954104, 0)
(97.3893722612836, 0)
(34.55751918948773, 0)
(75.37169008106044, 0.026530491785468)
(-78.53981633974483, 0)
(37.645997836015106, 0.0530890372838442)
(31.352156690388735, 0.0637266332931457)
(779.1124110680094, 0.0025670194400556)
(81.6569174978428, 0.0244890470959608)
(-65.97344572538566, 0)
(-43.936785063740594, -0.0454963762334591)
(12.405499633586086, 0.160178002058028)
(3.141592653589793, 0)
(15.707963267948966, 0)
(-31.352156690388735, -0.0637266332931457)
(-21.991148575128552, 0)
(18.742950211711907, 0.106403899511075)
(-15.707963267948966, 0)
(69.08609101329898, 0.028943323105097)
(128.80529879718154, 0)
(-94.22655496545507, -0.0212230487092482)
(28.274333882308138, 0)
(-59.69026041820607, 0)
(-408.4021478425674, -0.00489710453208163)
(-81.6569174978428, -0.0244890470959608)
(-97.3893722612836, 0)
(21.991148575128552, 0)
(65.97344572538566, 0)
(-34.55751918948773, 0)
(-72.25663103256524, 0)
(50.22566744075319, 0.0398044981539202)
(-75.37169008106044, -0.026530491785468)
(-28.274333882308138, 0)
(-56.51328154665989, -0.0353788334069361)
(-5.9501726433765585, -0.326891661078669)
(53.40707511102649, 0)
(-47.1238898038469, 0)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -50.2256674407532$$
$$x_{2} = -87.941852980689$$
$$x_{3} = 84.8230016469244$$
$$x_{4} = 47.1238898038469$$
$$x_{5} = -37.6459978360151$$
$$x_{6} = 91.106186954104$$
$$x_{7} = -69.086091013299$$
$$x_{8} = -62.8000086337252$$
$$x_{9} = -100.511067265113$$
$$x_{10} = -12.4054996335861$$
$$x_{11} = 78.5398163397448$$
$$x_{12} = -18.7429502117119$$
$$x_{13} = 72.2566310325652$$
$$x_{14} = 9.42477796076938$$
$$x_{15} = 40.8407044966673$$
$$x_{16} = 59.6902604182061$$
$$x_{17} = -25.0529526753384$$
$$x_{18} = 97.3893722612836$$
$$x_{19} = 34.5575191894877$$
$$x_{20} = -43.9367850637406$$
$$x_{21} = 3.14159265358979$$
$$x_{22} = 15.707963267949$$
$$x_{23} = -31.3521566903887$$
$$x_{24} = 128.805298797182$$
$$x_{25} = -94.2265549654551$$
$$x_{26} = 28.2743338823081$$
$$x_{27} = -408.402147842567$$
$$x_{28} = -81.6569174978428$$
$$x_{29} = 21.9911485751286$$
$$x_{30} = 65.9734457253857$$
$$x_{31} = -75.3716900810604$$
$$x_{32} = -56.5132815466599$$
$$x_{33} = -5.95017264337656$$
$$x_{34} = 53.4070751110265$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{34} = 25.0529526753384$$
$$x_{34} = 100.511067265113$$
$$x_{34} = -53.4070751110265$$
$$x_{34} = -84.8230016469244$$
$$x_{34} = 5.95017264337656$$
$$x_{34} = -3.14159265358979$$
$$x_{34} = 87.941852980689$$
$$x_{34} = -279.601746169492$$
$$x_{34} = -40.8407044966673$$
$$x_{34} = 62.8000086337252$$
$$x_{34} = 477.51789502706$$
$$x_{34} = -9.42477796076938$$
$$x_{34} = 94.2265549654551$$
$$x_{34} = 56.5132815466599$$
$$x_{34} = 43.9367850637406$$
$$x_{34} = -91.106186954104$$
$$x_{34} = 75.3716900810604$$
$$x_{34} = -78.5398163397448$$
$$x_{34} = 37.6459978360151$$
$$x_{34} = 31.3521566903887$$
$$x_{34} = 779.112411068009$$
$$x_{34} = 81.6569174978428$$
$$x_{34} = -65.9734457253857$$
$$x_{34} = 12.4054996335861$$
$$x_{34} = -21.9911485751286$$
$$x_{34} = 18.7429502117119$$
$$x_{34} = -15.707963267949$$
$$x_{34} = 69.086091013299$$
$$x_{34} = -59.6902604182061$$
$$x_{34} = -97.3893722612836$$
$$x_{34} = -34.5575191894877$$
$$x_{34} = -72.2566310325652$$
$$x_{34} = 50.2256674407532$$
$$x_{34} = -28.2743338823081$$
$$x_{34} = -47.1238898038469$$
Decrece en los intervalos
$$\left[128.805298797182, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -408.402147842567\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{2}}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 32.9240947361922$$
$$x_{2} = 23.4802919264971$$
$$x_{3} = -98.9401572801928$$
$$x_{4} = -83.2278838695937$$
$$x_{5} = -64.3710918861937$$
$$x_{6} = 92.6556292628207$$
$$x_{7} = 39.2175881820314$$
$$x_{8} = -42.3653892667121$$
$$x_{9} = 36.0743829885085$$
$$x_{10} = -7.55102453615362$$
$$x_{11} = 86.3709080585407$$
$$x_{12} = -80.0859487309835$$
$$x_{13} = 45.5081654611057$$
$$x_{14} = -10.8268690995624$$
$$x_{15} = 4428.0743936732$$
$$x_{16} = 17.1687916817231$$
$$x_{17} = 95.7974791095636$$
$$x_{18} = -17.1687916817231$$
$$x_{19} = -92.6556292628207$$
$$x_{20} = -86.3709080585407$$
$$x_{21} = 83.2278838695937$$
$$x_{22} = 64.3710918861937$$
$$x_{23} = 48.6544131811461$$
$$x_{24} = 61.2289201135729$$
$$x_{25} = -32.9240947361922$$
$$x_{26} = -36.0743829885085$$
$$x_{27} = -89.5127959855887$$
$$x_{28} = -70.6571246114187$$
$$x_{29} = 42.3653892667121$$
$$x_{30} = -61.2289201135729$$
$$x_{31} = -73.8006912312722$$
$$x_{32} = 80.0859487309835$$
$$x_{33} = -13.9834279458844$$
$$x_{34} = -23.4802919264971$$
$$x_{35} = 51.7969113967309$$
$$x_{36} = -95.7974791095636$$
$$x_{37} = 7.55102453615362$$
$$x_{38} = 67.5150534592896$$
$$x_{39} = 58.0844318525335$$
$$x_{40} = 76.9426858848596$$
$$x_{41} = -20.3169083532025$$
$$x_{42} = -51.7969113967309$$
$$x_{43} = 26.6255299708041$$
$$x_{44} = -39.2175881820314$$
$$x_{45} = -76.9426858848596$$
$$x_{46} = 4.34230123285199$$
$$x_{47} = -29.7801761695834$$
$$x_{48} = 13.9834279458844$$
$$x_{49} = -48.6544131811461$$
$$x_{50} = 89.5127959855887$$
$$x_{51} = -45.5081654611057$$
$$x_{52} = 70.6571246114187$$
$$x_{53} = 20.3169083532025$$
$$x_{54} = 54.9421240104386$$
$$x_{55} = 10.8268690995624$$
$$x_{56} = 29.7801761695834$$
$$x_{57} = 98.9401572801928$$
$$x_{58} = 73.8006912312722$$
$$x_{59} = -67.5150534592896$$
$$x_{60} = -26.6255299708041$$
$$x_{61} = -54.9421240104386$$
$$x_{62} = -4.34230123285199$$
$$x_{63} = -58.0844318525335$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{2}}}{x}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{2}}}{x}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[95.7974791095636, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -95.7974791095636\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{2}}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 32.9240947361922$$
$$x_{2} = 23.4802919264971$$
$$x_{3} = -98.9401572801928$$
$$x_{4} = -83.2278838695937$$
$$x_{5} = -64.3710918861937$$
$$x_{6} = 92.6556292628207$$
$$x_{7} = 39.2175881820314$$
$$x_{8} = -42.3653892667121$$
$$x_{9} = 36.0743829885085$$
$$x_{10} = -7.55102453615362$$
$$x_{11} = 86.3709080585407$$
$$x_{12} = -80.0859487309835$$
$$x_{13} = 45.5081654611057$$
$$x_{14} = -10.8268690995624$$
$$x_{15} = 4428.0743936732$$
$$x_{16} = 17.1687916817231$$
$$x_{17} = 95.7974791095636$$
$$x_{18} = -17.1687916817231$$
$$x_{19} = -92.6556292628207$$
$$x_{20} = -86.3709080585407$$
$$x_{21} = 83.2278838695937$$
$$x_{22} = 64.3710918861937$$
$$x_{23} = 48.6544131811461$$
$$x_{24} = 61.2289201135729$$
$$x_{25} = -32.9240947361922$$
$$x_{26} = -36.0743829885085$$
$$x_{27} = -89.5127959855887$$
$$x_{28} = -70.6571246114187$$
$$x_{29} = 42.3653892667121$$
$$x_{30} = -61.2289201135729$$
$$x_{31} = -73.8006912312722$$
$$x_{32} = 80.0859487309835$$
$$x_{33} = -13.9834279458844$$
$$x_{34} = -23.4802919264971$$
$$x_{35} = 51.7969113967309$$
$$x_{36} = -95.7974791095636$$
$$x_{37} = 7.55102453615362$$
$$x_{38} = 67.5150534592896$$
$$x_{39} = 58.0844318525335$$
$$x_{40} = 76.9426858848596$$
$$x_{41} = -20.3169083532025$$
$$x_{42} = -51.7969113967309$$
$$x_{43} = 26.6255299708041$$
$$x_{44} = -39.2175881820314$$
$$x_{45} = -76.9426858848596$$
$$x_{46} = 4.34230123285199$$
$$x_{47} = -29.7801761695834$$
$$x_{48} = 13.9834279458844$$
$$x_{49} = -48.6544131811461$$
$$x_{50} = 89.5127959855887$$
$$x_{51} = -45.5081654611057$$
$$x_{52} = 70.6571246114187$$
$$x_{53} = 20.3169083532025$$
$$x_{54} = 54.9421240104386$$
$$x_{55} = 10.8268690995624$$
$$x_{56} = 29.7801761695834$$
$$x_{57} = 98.9401572801928$$
$$x_{58} = 73.8006912312722$$
$$x_{59} = -67.5150534592896$$
$$x_{60} = -26.6255299708041$$
$$x_{61} = -54.9421240104386$$
$$x_{62} = -4.34230123285199$$
$$x_{63} = -58.0844318525335$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{2}}}{x}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{2}}}{x}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[95.7974791095636, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -95.7974791095636\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 + cos(x))/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x} = - \frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x}$$
- No
$$\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x} = \frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x} = - \frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x}$$
- No
$$\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x} = \frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico