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Trazado el gráfico de la función/ y=0.5x^3+1.5x^2-4.5x+1

Gráfico de la función y = y=0.5x^3+1.5x^2-4.5x+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3      2          
       x    3*x    9*x    
f(x) = -- + ---- - --- + 1
       2     2      2
f(x)=(−9x2+(x32+3x22))+1f{\left(x \right)} = \left(- \frac{9 x}{2} + \left(\frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2}}{2}\right)\right) + 1 
f = -9*x/2 + x^3/2 + 3*x^2/2 + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10001000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−9x2+(x32+3x22))+1=0\left(- \frac{9 x}{2} + \left(\frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2}}{2}\right)\right) + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1−3512+2787i233−123512+2787i23x_{1} = -1 - \frac{\sqrt[3]{\frac{351}{2} + \frac{27 \sqrt{87} i}{2}}}{3} - \frac{12}{\sqrt[3]{\frac{351}{2} + \frac{27 \sqrt{87} i}{2}}}
Solución numérica
x1=0.243610643242506x_{1} = 0.243610643242506
x2=1.67062150763562x_{2} = 1.67062150763562
x3=−4.91423215087813x_{3} = -4.91423215087813
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3/2 + 3*x^2/2 - 9*x/2 + 1.
((032+3⋅022)−0)+1\left(\left(\frac{0^{3}}{2} + \frac{3 \cdot 0^{2}}{2}\right) - 0\right) + 1
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x22+3x−92=0\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3x_{1} = -3
x2=1x_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(-3, 29/2)

(1, -3/2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Puntos máximos de la función:
x1=−3x_{1} = -3
Decrece en los intervalos
(−∞,−3]∪[1,∞)\left(-\infty, -3\right] \cup \left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−3,1]\left[-3, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3(x+1)=03 \left(x + 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−1,∞)\left[-1, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−1]\left(-\infty, -1\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−9x2+(x32+3x22))+1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \frac{9 x}{2} + \left(\frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2}}{2}\right)\right) + 1\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−9x2+(x32+3x22))+1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \frac{9 x}{2} + \left(\frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2}}{2}\right)\right) + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3/2 + 3*x^2/2 - 9*x/2 + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−9x2+(x32+3x22))+1x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \frac{9 x}{2} + \left(\frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2}}{2}\right)\right) + 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−9x2+(x32+3x22))+1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{9 x}{2} + \left(\frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2}}{2}\right)\right) + 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−9x2+(x32+3x22))+1=−x32+3x22+9x2+1\left(- \frac{9 x}{2} + \left(\frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2}}{2}\right)\right) + 1 = - \frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + 1
- No
(−9x2+(x32+3x22))+1=x32−3x22−9x2−1\left(- \frac{9 x}{2} + \left(\frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2}}{2}\right)\right) + 1 = \frac{x^{3}}{2} - \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{9 x}{2} - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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