Sr Examen

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1/2cosx/3
Trazado el gráfico de la función/ 1/2cosx/3

Gráfico de la función y = 1/2cosx/3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       /cos(x)\
       |------|
       \  2   /
f(x) = --------
          3
f(x)=12cos⁡(x)3f{\left(x \right)} = \frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{3} 
f = (cos(x)/2)/3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.5-0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
12cos⁡(x)3=0\frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=36.1283155162826x_{1} = 36.1283155162826
x2=−387.986692718339x_{2} = -387.986692718339
x3=86.3937979737193x_{3} = 86.3937979737193
x4=64.4026493985908x_{4} = 64.4026493985908
x5=42.4115008234622x_{5} = 42.4115008234622
x6=−20.4203522483337x_{6} = -20.4203522483337
x7=−80.1106126665397x_{7} = -80.1106126665397
x8=20.4203522483337x_{8} = 20.4203522483337
x9=−45.553093477052x_{9} = -45.553093477052
x10=70.6858347057703x_{10} = 70.6858347057703
x11=−39.2699081698724x_{11} = -39.2699081698724
x12=−32.9867228626928x_{12} = -32.9867228626928
x13=−86.3937979737193x_{13} = -86.3937979737193
x14=−95.8185759344887x_{14} = -95.8185759344887
x15=98.9601685880785x_{15} = 98.9601685880785
x16=−61.261056745001x_{16} = -61.261056745001
x17=−17.2787595947439x_{17} = -17.2787595947439
x18=26.7035375555132x_{18} = 26.7035375555132
x19=61.261056745001x_{19} = 61.261056745001
x20=−4.71238898038469x_{20} = -4.71238898038469
x21=73.8274273593601x_{21} = 73.8274273593601
x22=−1.5707963267949x_{22} = -1.5707963267949
x23=14.1371669411541x_{23} = 14.1371669411541
x24=83.2522053201295x_{24} = 83.2522053201295
x25=−76.9690200129499x_{25} = -76.9690200129499
x26=1.5707963267949x_{26} = 1.5707963267949
x27=4.71238898038469x_{27} = 4.71238898038469
x28=80.1106126665397x_{28} = 80.1106126665397
x29=−58.1194640914112x_{29} = -58.1194640914112
x30=7.85398163397448x_{30} = 7.85398163397448
x31=−3623.82712591583x_{31} = -3623.82712591583
x32=67.5442420521806x_{32} = 67.5442420521806
x33=−14.1371669411541x_{33} = -14.1371669411541
x34=45.553093477052x_{34} = 45.553093477052
x35=−92.6769832808989x_{35} = -92.6769832808989
x36=29.845130209103x_{36} = 29.845130209103
x37=−89.5353906273091x_{37} = -89.5353906273091
x38=−29.845130209103x_{38} = -29.845130209103
x39=23.5619449019235x_{39} = 23.5619449019235
x40=−2266.65909956504x_{40} = -2266.65909956504
x41=−26.7035375555132x_{41} = -26.7035375555132
x42=−51.8362787842316x_{42} = -51.8362787842316
x43=92.6769832808989x_{43} = 92.6769832808989
x44=−48.6946861306418x_{44} = -48.6946861306418
x45=48.6946861306418x_{45} = 48.6946861306418
x46=−98.9601685880785x_{46} = -98.9601685880785
x47=−64.4026493985908x_{47} = -64.4026493985908
x48=89.5353906273091x_{48} = 89.5353906273091
x49=39.2699081698724x_{49} = 39.2699081698724
x50=76.9690200129499x_{50} = 76.9690200129499
x51=−73.8274273593601x_{51} = -73.8274273593601
x52=32.9867228626928x_{52} = 32.9867228626928
x53=−10.9955742875643x_{53} = -10.9955742875643
x54=95.8185759344887x_{54} = 95.8185759344887
x55=10.9955742875643x_{55} = 10.9955742875643
x56=−70.6858347057703x_{56} = -70.6858347057703
x57=58.1194640914112x_{57} = 58.1194640914112
x58=−83.2522053201295x_{58} = -83.2522053201295
x59=51.8362787842316x_{59} = 51.8362787842316
x60=−36.1283155162826x_{60} = -36.1283155162826
x61=−7.85398163397448x_{61} = -7.85398163397448
x62=−42.4115008234622x_{62} = -42.4115008234622
x63=54.9778714378214x_{63} = 54.9778714378214
x64=−54.9778714378214x_{64} = -54.9778714378214
x65=17.2787595947439x_{65} = 17.2787595947439
x66=−23.5619449019235x_{66} = -23.5619449019235
x67=−67.5442420521806x_{67} = -67.5442420521806
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (cos(x)/2)/3.
12cos⁡(0)3\frac{\frac{1}{2} \cos{\left(0 \right)}}{3}
Resultado:
f(0)=16f{\left(0 \right)} = \frac{1}{6}
Punto:
(0, 1/6)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)6=0- \frac{\sin{\left(x \right)}}{6} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1/6)

(pi, -1/6)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x)6=0- \frac{\cos{\left(x \right)}}{6} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(12cos⁡(x)3)=⟨−16,16⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{3}\right) = \left\langle - \frac{1}{6}, \frac{1}{6}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−16,16⟩y = \left\langle - \frac{1}{6}, \frac{1}{6}\right\rangle
lim⁡x→∞(12cos⁡(x)3)=⟨−16,16⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{3}\right) = \left\langle - \frac{1}{6}, \frac{1}{6}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−16,16⟩y = \left\langle - \frac{1}{6}, \frac{1}{6}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (cos(x)/2)/3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)6x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{6 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x)6x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{6 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
12cos⁡(x)3=12cos⁡(x)3\frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{3} = \frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{3}
- Sí
12cos⁡(x)3=−12cos⁡(x)3\frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{3} = - \frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{3}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = 1/2cosx/3
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