Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/2*cosx/3

Gráfico de la función y = 1/2*cosx/3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       /cos(x)\
       |------|
       \  2   /
f(x) = --------
          3
f(x)=12cos⁡(x)3f{\left(x \right)} = \frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{3} 
f = (cos(x)/2)/3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.5-0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
12cos⁡(x)3=0\frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=−387.986692718339x_{1} = -387.986692718339
x2=−29.845130209103x_{2} = -29.845130209103
x3=−67.5442420521806x_{3} = -67.5442420521806
x4=−70.6858347057703x_{4} = -70.6858347057703
x5=64.4026493985908x_{5} = 64.4026493985908
x6=−36.1283155162826x_{6} = -36.1283155162826
x7=−92.6769832808989x_{7} = -92.6769832808989
x8=−61.261056745001x_{8} = -61.261056745001
x9=−76.9690200129499x_{9} = -76.9690200129499
x10=−98.9601685880785x_{10} = -98.9601685880785
x11=−95.8185759344887x_{11} = -95.8185759344887
x12=29.845130209103x_{12} = 29.845130209103
x13=80.1106126665397x_{13} = 80.1106126665397
x14=−64.4026493985908x_{14} = -64.4026493985908
x15=36.1283155162826x_{15} = 36.1283155162826
x16=73.8274273593601x_{16} = 73.8274273593601
x17=−2266.65909956504x_{17} = -2266.65909956504
x18=32.9867228626928x_{18} = 32.9867228626928
x19=−4.71238898038469x_{19} = -4.71238898038469
x20=−39.2699081698724x_{20} = -39.2699081698724
x21=26.7035375555132x_{21} = 26.7035375555132
x22=−7.85398163397448x_{22} = -7.85398163397448
x23=95.8185759344887x_{23} = 95.8185759344887
x24=−17.2787595947439x_{24} = -17.2787595947439
x25=−10.9955742875643x_{25} = -10.9955742875643
x26=98.9601685880785x_{26} = 98.9601685880785
x27=−86.3937979737193x_{27} = -86.3937979737193
x28=92.6769832808989x_{28} = 92.6769832808989
x29=−48.6946861306418x_{29} = -48.6946861306418
x30=54.9778714378214x_{30} = 54.9778714378214
x31=45.553093477052x_{31} = 45.553093477052
x32=23.5619449019235x_{32} = 23.5619449019235
x33=76.9690200129499x_{33} = 76.9690200129499
x34=−89.5353906273091x_{34} = -89.5353906273091
x35=4.71238898038469x_{35} = 4.71238898038469
x36=−26.7035375555132x_{36} = -26.7035375555132
x37=−80.1106126665397x_{37} = -80.1106126665397
x38=7.85398163397448x_{38} = 7.85398163397448
x39=14.1371669411541x_{39} = 14.1371669411541
x40=86.3937979737193x_{40} = 86.3937979737193
x41=−45.553093477052x_{41} = -45.553093477052
x42=−83.2522053201295x_{42} = -83.2522053201295
x43=70.6858347057703x_{43} = 70.6858347057703
x44=83.2522053201295x_{44} = 83.2522053201295
x45=48.6946861306418x_{45} = 48.6946861306418
x46=−3623.82712591583x_{46} = -3623.82712591583
x47=−20.4203522483337x_{47} = -20.4203522483337
x48=51.8362787842316x_{48} = 51.8362787842316
x49=10.9955742875643x_{49} = 10.9955742875643
x50=20.4203522483337x_{50} = 20.4203522483337
x51=1.5707963267949x_{51} = 1.5707963267949
x52=89.5353906273091x_{52} = 89.5353906273091
x53=17.2787595947439x_{53} = 17.2787595947439
x54=58.1194640914112x_{54} = 58.1194640914112
x55=61.261056745001x_{55} = 61.261056745001
x56=−32.9867228626928x_{56} = -32.9867228626928
x57=−51.8362787842316x_{57} = -51.8362787842316
x58=−14.1371669411541x_{58} = -14.1371669411541
x59=−58.1194640914112x_{59} = -58.1194640914112
x60=−42.4115008234622x_{60} = -42.4115008234622
x61=−54.9778714378214x_{61} = -54.9778714378214
x62=−1.5707963267949x_{62} = -1.5707963267949
x63=42.4115008234622x_{63} = 42.4115008234622
x64=39.2699081698724x_{64} = 39.2699081698724
x65=67.5442420521806x_{65} = 67.5442420521806
x66=−23.5619449019235x_{66} = -23.5619449019235
x67=−73.8274273593601x_{67} = -73.8274273593601
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (cos(x)/2)/3.
12cos⁡(0)3\frac{\frac{1}{2} \cos{\left(0 \right)}}{3}
Resultado:
f(0)=16f{\left(0 \right)} = \frac{1}{6}
Punto:
(0, 1/6)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)6=0- \frac{\sin{\left(x \right)}}{6} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1/6)

(pi, -1/6)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x)6=0- \frac{\cos{\left(x \right)}}{6} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(12cos⁡(x)3)=⟨−16,16⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{3}\right) = \left\langle - \frac{1}{6}, \frac{1}{6}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−16,16⟩y = \left\langle - \frac{1}{6}, \frac{1}{6}\right\rangle
lim⁡x→∞(12cos⁡(x)3)=⟨−16,16⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{3}\right) = \left\langle - \frac{1}{6}, \frac{1}{6}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−16,16⟩y = \left\langle - \frac{1}{6}, \frac{1}{6}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (cos(x)/2)/3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)6x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{6 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x)6x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{6 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
12cos⁡(x)3=12cos⁡(x)3\frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{3} = \frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{3}
- Sí
12cos⁡(x)3=−12cos⁡(x)3\frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{3} = - \frac{\frac{1}{2} \cos{\left(x \right)}}{3}
- No
es decir, función
es
par
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