Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ loge(1+2*e^x)

Gráfico de la función y = loge(1+2*e^x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /       x\
       log\1 + 2*E /
f(x) = -------------
             / 1\   
          log\e /
f(x)=log⁡(2ex+1)log⁡(e1)f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(2 e^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}} 
f = log(2*E^x + 1)/log(exp(1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(2ex+1)log⁡(e1)=0\frac{\log{\left(2 e^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(1 + 2*E^x)/log(exp(1)).
log⁡(1+2e0)log⁡(e1)\frac{\log{\left(1 + 2 e^{0} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}}
Resultado:
f(0)=log⁡(3)f{\left(0 \right)} = \log{\left(3 \right)}
Punto:
(0, log(3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2ex(2ex+1)log⁡(e1)=0\frac{2 e^{x}}{\left(2 e^{x} + 1\right) \log{\left(e^{1} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1−2ex2ex+1)ex(2ex+1)log⁡(e1)=0\frac{2 \left(1 - \frac{2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}\right) e^{x}}{\left(2 e^{x} + 1\right) \log{\left(e^{1} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(2ex+1)log⁡(e1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2 e^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(2ex+1)log⁡(e1))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2 e^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(1 + 2*E^x)/log(exp(1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(2ex+1)xlog⁡(e1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2 e^{x} + 1 \right)}}{x \log{\left(e^{1} \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(2ex+1)xlog⁡(e1))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2 e^{x} + 1 \right)}}{x \log{\left(e^{1} \right)}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(2ex+1)log⁡(e1)=log⁡(1+2e−x)log⁡(e1)\frac{\log{\left(2 e^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}} = \frac{\log{\left(1 + 2 e^{- x} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}}
- No
log⁡(2ex+1)log⁡(e1)=−log⁡(1+2e−x)log⁡(e1)\frac{\log{\left(2 e^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}} = - \frac{\log{\left(1 + 2 e^{- x} \right)}}{\log{\left(e^{1} \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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