Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{16 x - 10}{3 - 4 x} + \frac{4 \left(\left(8 x^{2} - 10 x\right) + 7\right)}{\left(3 - 4 x\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2\
| / ___\ |
___ | 1 ___ |3 \/ 2 | |
___ \/ 2 *|- - + 5*\/ 2 + 8*|- - -----| |
3 \/ 2 \ 2 \4 2 / /
(- - -----, --------------------------------------)
4 2 4
/ 2\
| / ___\ |
___ | 1 ___ |3 \/ 2 | |
___ -\/ 2 *|- - - 5*\/ 2 + 8*|- + -----| |
3 \/ 2 \ 2 \4 2 / /
(- + -----, ----------------------------------------)
4 2 4
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3}{4}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3}{4}, \infty\right)$$