Sr Examen

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2x^2-x^4+1

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • 5-x 5-x
  • (1-x^3)/x^2 (1-x^3)/x^2
  • x/(x^2-5) x/(x^2-5)
  • 3*x-x^3 3*x-x^3

  • Expresiones idénticas

  • dos x^2-x^ cuatro + uno
  • 2x al cuadrado menos x en el grado 4 más 1
  • dos x al cuadrado menos x en el grado cuatro más uno
  • 2x2-x4+1
  • 2x²-x⁴+1
  • 2x en el grado 2-x en el grado 4+1

  • Expresiones semejantes

  • 2x^2-x^4-1
  • 2x^2+x^4+1
Trazado el gráfico de la función/ 2x^2-x^4+1

Gráfico de la función y = 2x^2-x^4+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2    4    
f(x) = 2*x  - x  + 1
f(x)=(−x4+2x2)+1f{\left(x \right)} = \left(- x^{4} + 2 x^{2}\right) + 1 
f = -x^4 + 2*x^2 + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−x4+2x2)+1=0\left(- x^{4} + 2 x^{2}\right) + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1+2x_{1} = - \sqrt{1 + \sqrt{2}}
x2=1+2x_{2} = \sqrt{1 + \sqrt{2}}
Solución numérica
x1=1.55377397403004x_{1} = 1.55377397403004
x2=−1.55377397403004x_{2} = -1.55377397403004
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*x^2 - x^4 + 1.
(2⋅02−04)+1\left(2 \cdot 0^{2} - 0^{4}\right) + 1
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4x3+4x=0- 4 x^{3} + 4 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
x3=1x_{3} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 2)

(0, 1)

(1, 2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,−1]∪[0,∞)\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[1,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(1−3x2)=04 \left(1 - 3 x^{2}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−33x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}
x2=33x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−33,33]\left[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−33]∪[33,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−x4+2x2)+1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- x^{4} + 2 x^{2}\right) + 1\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−x4+2x2)+1)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x^{4} + 2 x^{2}\right) + 1\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*x^2 - x^4 + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−x4+2x2)+1x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x^{4} + 2 x^{2}\right) + 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−x4+2x2)+1x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{4} + 2 x^{2}\right) + 1}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−x4+2x2)+1=(−x4+2x2)+1\left(- x^{4} + 2 x^{2}\right) + 1 = \left(- x^{4} + 2 x^{2}\right) + 1
- Sí
(−x4+2x2)+1=(x4−2x2)−1\left(- x^{4} + 2 x^{2}\right) + 1 = \left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 1
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = 2x^2-x^4+1
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