Sr Examen

Gráfico de la función y = x²/(x-1)²

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
           2   
          x    
f(x) = --------
              2
       (x - 1) 
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}$$
f = x^2/(x - 1)^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2/(x - 1)^2.
$$\frac{0^{2}}{\left(-1\right)^{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x^{2} \left(2 - 2 x\right)}{\left(x - 1\right)^{4}} + \frac{2 x}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{3 x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{4 x}{x - 1} + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{3 x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{4 x}{x - 1} + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{3 x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{4 x}{x - 1} + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2/(x - 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} = \frac{x^{2}}{\left(- x - 1\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} = - \frac{x^{2}}{\left(- x - 1\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar