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Trazado el gráfico de la función/ 3*x-log(x+3)^3

Gráfico de la función y = 3*x-log(x+3)^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                3       
f(x) = 3*x - log (x + 3)
$$f{\left(x \right)} = 3 x - \log{\left(x + 3 \right)}^{3}$$ 
f = 3*x - log(x + 3)^3
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$3 x - \log{\left(x + 3 \right)}^{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 0.787000267629375$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*x - log(x + 3)^3.
$$- \log{\left(3 \right)}^{3} + 0 \cdot 3$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - \log{\left(3 \right)}^{3}$$
Punto:
(0, -log(3)^3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 - \frac{3 \log{\left(x + 3 \right)}^{2}}{x + 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{3 \left(\log{\left(x + 3 \right)} - 2\right) \log{\left(x + 3 \right)}}{\left(x + 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -3 + e^{2}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[-3 + e^{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-2, -3 + e^{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 x - \log{\left(x + 3 \right)}^{3}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x - \log{\left(x + 3 \right)}^{3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*x - log(x + 3)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x - \log{\left(x + 3 \right)}^{3}}{x}\right) = 3$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = 3 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x - \log{\left(x + 3 \right)}^{3}}{x}\right) = 3$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = 3 x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$3 x - \log{\left(x + 3 \right)}^{3} = - 3 x - \log{\left(3 - x \right)}^{3}$$
- No
$$3 x - \log{\left(x + 3 \right)}^{3} = 3 x + \log{\left(3 - x \right)}^{3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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