Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x-1/x)^2

Gráfico de la función y = (x-1/x)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              2
       /    1\ 
f(x) = |x - -| 
       \    x/
f(x)=(x−1x)2f{\left(x \right)} = \left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} 
f = (x - 1/x)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−1x)2=0\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=−1.00000023752962x_{1} = -1.00000023752962
x2=1.00000030075211x_{2} = 1.00000030075211
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x - 1/x)^2.
(−10)2\left(- \frac{1}{0}\right)^{2}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(2+2x2)(x−1x)=0\left(2 + \frac{2}{x^{2}}\right) \left(x - \frac{1}{x}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 0)

(1, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1]\left(-\infty, -1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2((1+1x2)2−2(x−1x)x3)=02 \left(\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} - \frac{2 \left(x - \frac{1}{x}\right)}{x^{3}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−1x)2=∞\lim_{x \to -\infty} \left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x−1x)2=∞\lim_{x \to \infty} \left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 1/x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−1x)2x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x−1x)2x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−1x)2=(−x+1x)2\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} = \left(- x + \frac{1}{x}\right)^{2}
- No
(x−1x)2=−(−x+1x)2\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} = - \left(- x + \frac{1}{x}\right)^{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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