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Resolución de integrales/ x-1/x/ (x-1/x)^2

Integral de (x-1/x)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1            
  /            
 |             
 |         2   
 |  /    1\    
 |  |x - -|  dx
 |  \    x/    
 |             
/              
0
∫01(x−1x)2 dx\int\limits_{0}^{1} \left(x - \frac{1}{x}\right)^{2}\, dx 
Integral((x - 1/x)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

      ∫(−u4−2u2+1u4) du\int \left(- \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u4−2u2+1u4 du=−∫u4−2u2+1u4 du\int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du = - \int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u4−2u2+1u4=1−2u2+1u4\frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}} = 1 - \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2u2) du=−2∫1u2 du\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2u\frac{2}{u}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

          El resultado es: u+2u−13u3u + \frac{2}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}

        Por lo tanto, el resultado es: −u−2u+13u3- u - \frac{2}{u} + \frac{1}{3 u^{3}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x33−2x−1x\frac{x^{3}}{3} - 2 x - \frac{1}{x}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x−1x)2=x2−2+1x2\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} = x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}}

    2. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−2) dx=−2x\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1x2 dx=−1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

      El resultado es: x33−2x−1x\frac{x^{3}}{3} - 2 x - \frac{1}{x}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x−1x)2=x4−2x2+1x2\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} = \frac{x^{4} - 2 x^{2} + 1}{x^{2}}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      x4−2x2+1x2=x2−2+1x2\frac{x^{4} - 2 x^{2} + 1}{x^{2}} = x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}}

    3. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−2) dx=−2x\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1x2 dx=−1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

      El resultado es: x33−2x−1x\frac{x^{3}}{3} - 2 x - \frac{1}{x}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x33−2x−1x+constant\frac{x^{3}}{3} - 2 x - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x33−2x−1x+constant\frac{x^{3}}{3} - 2 x - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                              
 |                               
 |        2                     3
 | /    1\           1         x 
 | |x - -|  dx = C - - - 2*x + --
 | \    x/           x         3 
 |                               
/
∫(x−1x)2 dx=C+x33−2x−1x\int \left(x - \frac{1}{x}\right)^{2}\, dx = C + \frac{x^{3}}{3} - 2 x - \frac{1}{x}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90200000000-100000000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
1.3793236779486e+19
1.3793236779486e+19

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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