Sr Examen

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Integral de (x-1/x)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1            
  /            
 |             
 |         2   
 |  /    1\    
 |  |x - -|  dx
 |  \    x/    
 |             
/              
0              
01(x1x)2dx\int\limits_{0}^{1} \left(x - \frac{1}{x}\right)^{2}\, dx
Integral((x - 1/x)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos du- du:

      (u42u2+1u4)du\int \left(- \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        u42u2+1u4du=u42u2+1u4du\int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du = - \int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u42u2+1u4=12u2+1u4\frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}} = 1 - \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            1du=u\int 1\, du = u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (2u2)du=21u2du\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              1u2du=1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2u\frac{2}{u}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            1u4du=13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

          El resultado es: u+2u13u3u + \frac{2}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}

        Por lo tanto, el resultado es: u2u+13u3- u - \frac{2}{u} + \frac{1}{3 u^{3}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x332x1x\frac{x^{3}}{3} - 2 x - \frac{1}{x}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x1x)2=x22+1x2\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} = x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}}

    2. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

        x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        (2)dx=2x\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

        1x2dx=1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

      El resultado es: x332x1x\frac{x^{3}}{3} - 2 x - \frac{1}{x}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x1x)2=x42x2+1x2\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} = \frac{x^{4} - 2 x^{2} + 1}{x^{2}}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      x42x2+1x2=x22+1x2\frac{x^{4} - 2 x^{2} + 1}{x^{2}} = x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}}

    3. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

        x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        (2)dx=2x\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

        1x2dx=1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

      El resultado es: x332x1x\frac{x^{3}}{3} - 2 x - \frac{1}{x}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x332x1x+constant\frac{x^{3}}{3} - 2 x - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

x332x1x+constant\frac{x^{3}}{3} - 2 x - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                              
 |                               
 |        2                     3
 | /    1\           1         x 
 | |x - -|  dx = C - - - 2*x + --
 | \    x/           x         3 
 |                               
/                                
(x1x)2dx=C+x332x1x\int \left(x - \frac{1}{x}\right)^{2}\, dx = C + \frac{x^{3}}{3} - 2 x - \frac{1}{x}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90200000000-100000000
Respuesta [src]
oo
\infty
=
=
oo
\infty
oo
Respuesta numérica [src]
1.3793236779486e+19
1.3793236779486e+19

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.