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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(x^2+x-1)+sqrt(x^2+x+3)-sqrt(-2*x^2-8)

Gráfico de la función y = sqrt(x^2+x-1)+sqrt(x^2+x+3)-sqrt(-2*x^2-8)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ____________      ____________      ____________
         /  2              /  2              /      2     
f(x) = \/  x  + x - 1  + \/  x  + x + 3  - \/  - 2*x  - 8
$$f{\left(x \right)} = - \sqrt{- 2 x^{2} - 8} + \left(\sqrt{\left(x^{2} + x\right) - 1} + \sqrt{\left(x^{2} + x\right) + 3}\right)$$ 
f = -sqrt(-2*x^2 - 8) + sqrt(x^2 + x - 1) + sqrt(x^2 + x + 3)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \sqrt{- 2 x^{2} - 8} + \left(\sqrt{\left(x^{2} + x\right) - 1} + \sqrt{\left(x^{2} + x\right) + 3}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x^2 + x - 1) + sqrt(x^2 + x + 3) - sqrt(-2*x^2 - 8).
$$- \sqrt{-8 - 2 \cdot 0^{2}} + \left(\sqrt{0^{2} + 3} + \sqrt{-1 + 0^{2}}\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} i + i$$
Punto:
(0, i + sqrt(3) - 2*i*sqrt(2))
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{- 2 x^{2} - 8} + \left(\sqrt{\left(x^{2} + x\right) - 1} + \sqrt{\left(x^{2} + x\right) + 3}\right)\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(-2 + \sqrt{2} i \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = - \infty \operatorname{sign}{\left(-2 + \sqrt{2} i \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- 2 x^{2} - 8} + \left(\sqrt{\left(x^{2} + x\right) - 1} + \sqrt{\left(x^{2} + x\right) + 3}\right)\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(-2 + \sqrt{2} i \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = - \infty \operatorname{sign}{\left(-2 + \sqrt{2} i \right)}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x^2 + x - 1) + sqrt(x^2 + x + 3) - sqrt(-2*x^2 - 8), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sqrt{- 2 x^{2} - 8} + \left(\sqrt{\left(x^{2} + x\right) - 1} + \sqrt{\left(x^{2} + x\right) + 3}\right)}{x}\right) = -2 + \sqrt{2} i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \left(-2 + \sqrt{2} i\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt{- 2 x^{2} - 8} + \left(\sqrt{\left(x^{2} + x\right) - 1} + \sqrt{\left(x^{2} + x\right) + 3}\right)}{x}\right) = 2 - \sqrt{2} i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \left(2 - \sqrt{2} i\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \sqrt{- 2 x^{2} - 8} + \left(\sqrt{\left(x^{2} + x\right) - 1} + \sqrt{\left(x^{2} + x\right) + 3}\right) = - \sqrt{- 2 x^{2} - 8} + \sqrt{x^{2} - x - 1} + \sqrt{x^{2} - x + 3}$$
- No
$$- \sqrt{- 2 x^{2} - 8} + \left(\sqrt{\left(x^{2} + x\right) - 1} + \sqrt{\left(x^{2} + x\right) + 3}\right) = \sqrt{- 2 x^{2} - 8} - \sqrt{x^{2} - x - 1} - \sqrt{x^{2} - x + 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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