Sr Examen

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cbrt((x-2)^2(x-4)^2)
Trazado el gráfico de la función/ cbrt((x-2)^2(x-4)^2)

Gráfico de la función y = cbrt((x-2)^2(x-4)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ___________________
       3 /        2        2 
f(x) = \/  (x - 2) *(x - 4)
$$f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 2\right)^{2}}$$ 
f = ((x - 4)^2*(x - 2)^2)^(1/3)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt[3]{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 4$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x - 2)^2*(x - 4)^2)^(1/3).
$$\sqrt[3]{\left(-2\right)^{2} \left(-4\right)^{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 4$$
Punto:
(0, 4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left|{x - 4}\right|^{\frac{2}{3}} \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}} \left(\frac{\left(x - 4\right)^{2} \left(2 x - 4\right)}{3} + \frac{\left(x - 2\right)^{2} \left(2 x - 8\right)}{3}\right)}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3$$
Signos de extremos en los puntos:
(3, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 3$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 3\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[3, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 2\right)^{2}} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 2\right)^{2}} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x - 2)^2*(x - 4)^2)^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x - 4}\right|^{\frac{2}{3}} \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x - 4}\right|^{\frac{2}{3}} \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt[3]{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 2\right)^{2}} = \left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}} \left|{x + 4}\right|^{\frac{2}{3}}$$
- No
$$\sqrt[3]{\left(x - 4\right)^{2} \left(x - 2\right)^{2}} = - \left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}} \left|{x + 4}\right|^{\frac{2}{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = cbrt((x-2)^2(x-4)^2)
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