Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2-x+5
-
(x+1)*(x-2)^2
-
x*(-1-log(x))
-
-sqrt(1-x^2)
-
Expresiones idénticas
- dos *ln(x/(x+ uno))/(x/(x+ uno))- uno
- 2 multiplicar por ln(x dividir por (x más 1)) dividir por (x dividir por (x más 1)) menos 1
- dos multiplicar por ln(x dividir por (x más uno)) dividir por (x dividir por (x más uno)) menos uno
- 2ln(x/(x+1))/(x/(x+1))-1
- 2lnx/x+1/x/x+1-1
- 2*ln(x dividir por (x+1)) dividir por (x dividir por (x+1))-1
-
Expresiones semejantes
- 2*ln(x/(x+1))/(x/(x+1))+1
- 2*ln(x/(x+1))/(x/(x-1))-1
- 2*ln(x/(x-1))/(x/(x+1))-1
-
Expresiones con funciones
- ln
- ln(1-1/x^2)
- ln*2x/(x-4)-x
- ln(|x|)
- ln((3-2x-x))^2
- ln(1+e^(-x))
Gráfico de la función y = 2*ln(x/(x+1))/(x/(x+1))-1
Solución
Ha introducido
[src]
/ x \
2*log|-----|
\x + 1/
f(x) = ------------ - 1
/ x \
|-----|
\x + 1/
$$f{\left(x \right)} = -1 + \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x \frac{1}{x + 1}}$$
f = -1 + (2*log(x/(x + 1)))/((x/(x + 1)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$-1 + \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x \frac{1}{x + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$-1 + \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x \frac{1}{x + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \frac{x + 1}{x} \left(x + 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x + 1}\right)}{x} + \frac{2 \left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1}\right) \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{e}{1 - e}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{e}{1 - e}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{e}{1 - e}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{e}{1 - e}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \frac{x + 1}{x} \left(x + 1\right) \left(- \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x + 1}\right)}{x} + \frac{2 \left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1}\right) \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{e}{1 - e}$$
Signos de extremos en los puntos:
E / E \ -1 / E \
(-----, -1 + 2*(1 - E)*|1 + -----|*e *log|-------------------|)
1 - E \ 1 - E/ | / E \|
|(1 - E)*|1 + -----||
\ \ 1 - E// Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{e}{1 - e}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{e}{1 - e}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{e}{1 - e}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{\left(x + 1\right) \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{x} - \frac{2 \left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x} + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x}\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -26428.3298390861$$
$$x_{2} = -36597.6273866669$$
$$x_{3} = 33763.3323331341$$
$$x_{4} = -23038.9668589533$$
$$x_{5} = -2.23214911193243$$
$$x_{6} = -18802.8316502007$$
$$x_{7} = -19649.9896565722$$
$$x_{8} = 37153.3107622486$$
$$x_{9} = -34902.6627883798$$
$$x_{10} = 29525.99585319$$
$$x_{11} = 31220.9088945316$$
$$x_{12} = 42238.407060159$$
$$x_{13} = 21052.1091542246$$
$$x_{14} = 22746.7638559879$$
$$x_{15} = 41390.8822143096$$
$$x_{16} = -34055.1899027369$$
$$x_{17} = -15414.7291697006$$
$$x_{18} = -16261.6575566932$$
$$x_{19} = -20497.186712239$$
$$x_{20} = 38848.3278916951$$
$$x_{21} = 25288.8793537874$$
$$x_{22} = -39987.620395914$$
$$x_{23} = -30665.3737194206$$
$$x_{24} = -22191.6791155372$$
$$x_{25} = -37445.1182207379$$
$$x_{26} = -33207.7239558376$$
$$x_{27} = 36305.8087017727$$
$$x_{28} = 26136.2801245568$$
$$x_{29} = -28970.5204762107$$
$$x_{30} = 15968.805549136$$
$$x_{31} = -41682.643473451$$
$$x_{32} = -17955.7185946979$$
$$x_{33} = 15121.7299519896$$
$$x_{34} = 20204.8148671931$$
$$x_{35} = -35750.1421032867$$
$$x_{36} = -38292.6142258223$$
$$x_{37} = 24441.4920913745$$
$$x_{38} = 27831.1174405081$$
$$x_{39} = -28123.1105797507$$
$$x_{40} = -21344.4179055491$$
$$x_{41} = 32068.376741354$$
$$x_{42} = 23594.1197289189$$
$$x_{43} = -42530.1607036785$$
$$x_{44} = 35458.3113796566$$
$$x_{45} = -17108.6576442472$$
$$x_{46} = -32360.2655124569$$
$$x_{47} = -25580.9617016437$$
$$x_{48} = -27275.7132788263$$
$$x_{49} = -39140.1150560994$$
$$x_{50} = -24733.6105145797$$
$$x_{51} = 17663.1001377754$$
$$x_{52} = 38000.8172528981$$
$$x_{53} = 32915.8513861937$$
$$x_{54} = -23886.2781714854$$
$$x_{55} = -29817.9418521042$$
$$x_{56} = 18510.3067225674$$
$$x_{57} = 21899.426296621$$
$$x_{58} = -40835.1299565572$$
$$x_{59} = 34610.8191333518$$
$$x_{60} = 39695.8424200556$$
$$x_{61} = 28678.551948544$$
$$x_{62} = 16815.9312080761$$
$$x_{63} = 40543.3606004514$$
$$x_{64} = 19357.546278374$$
$$x_{65} = 30373.4483950807$$
$$x_{66} = 26983.6931801578$$
$$x_{67} = -31512.8152003757$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{\left(x + 1\right) \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{x} - \frac{2 \left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x} + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x}\right)}{x^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{\left(x + 1\right) \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{x} - \frac{2 \left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x} + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x}\right)}{x^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{\left(x + 1\right) \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{x} - \frac{2 \left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x} + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x}\right)}{x^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{\left(x + 1\right) \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{x} - \frac{2 \left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x} + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x}\right)}{x^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -2.23214911193243\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-2.23214911193243, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{\left(x + 1\right) \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{x} - \frac{2 \left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x} + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x}\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -26428.3298390861$$
$$x_{2} = -36597.6273866669$$
$$x_{3} = 33763.3323331341$$
$$x_{4} = -23038.9668589533$$
$$x_{5} = -2.23214911193243$$
$$x_{6} = -18802.8316502007$$
$$x_{7} = -19649.9896565722$$
$$x_{8} = 37153.3107622486$$
$$x_{9} = -34902.6627883798$$
$$x_{10} = 29525.99585319$$
$$x_{11} = 31220.9088945316$$
$$x_{12} = 42238.407060159$$
$$x_{13} = 21052.1091542246$$
$$x_{14} = 22746.7638559879$$
$$x_{15} = 41390.8822143096$$
$$x_{16} = -34055.1899027369$$
$$x_{17} = -15414.7291697006$$
$$x_{18} = -16261.6575566932$$
$$x_{19} = -20497.186712239$$
$$x_{20} = 38848.3278916951$$
$$x_{21} = 25288.8793537874$$
$$x_{22} = -39987.620395914$$
$$x_{23} = -30665.3737194206$$
$$x_{24} = -22191.6791155372$$
$$x_{25} = -37445.1182207379$$
$$x_{26} = -33207.7239558376$$
$$x_{27} = 36305.8087017727$$
$$x_{28} = 26136.2801245568$$
$$x_{29} = -28970.5204762107$$
$$x_{30} = 15968.805549136$$
$$x_{31} = -41682.643473451$$
$$x_{32} = -17955.7185946979$$
$$x_{33} = 15121.7299519896$$
$$x_{34} = 20204.8148671931$$
$$x_{35} = -35750.1421032867$$
$$x_{36} = -38292.6142258223$$
$$x_{37} = 24441.4920913745$$
$$x_{38} = 27831.1174405081$$
$$x_{39} = -28123.1105797507$$
$$x_{40} = -21344.4179055491$$
$$x_{41} = 32068.376741354$$
$$x_{42} = 23594.1197289189$$
$$x_{43} = -42530.1607036785$$
$$x_{44} = 35458.3113796566$$
$$x_{45} = -17108.6576442472$$
$$x_{46} = -32360.2655124569$$
$$x_{47} = -25580.9617016437$$
$$x_{48} = -27275.7132788263$$
$$x_{49} = -39140.1150560994$$
$$x_{50} = -24733.6105145797$$
$$x_{51} = 17663.1001377754$$
$$x_{52} = 38000.8172528981$$
$$x_{53} = 32915.8513861937$$
$$x_{54} = -23886.2781714854$$
$$x_{55} = -29817.9418521042$$
$$x_{56} = 18510.3067225674$$
$$x_{57} = 21899.426296621$$
$$x_{58} = -40835.1299565572$$
$$x_{59} = 34610.8191333518$$
$$x_{60} = 39695.8424200556$$
$$x_{61} = 28678.551948544$$
$$x_{62} = 16815.9312080761$$
$$x_{63} = 40543.3606004514$$
$$x_{64} = 19357.546278374$$
$$x_{65} = 30373.4483950807$$
$$x_{66} = 26983.6931801578$$
$$x_{67} = -31512.8152003757$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{\left(x + 1\right) \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{x} - \frac{2 \left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x} + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x}\right)}{x^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{\left(x + 1\right) \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{x} - \frac{2 \left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x} + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x}\right)}{x^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{\left(x + 1\right) \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{x} - \frac{2 \left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x} + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x}\right)}{x^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{\left(x + 1\right) \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{x} - \frac{2 \left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x} + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x}\right)}{x^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -2.23214911193243\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-2.23214911193243, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(-1 + \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x \frac{1}{x + 1}}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(-1 + \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x \frac{1}{x + 1}}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(-1 + \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x \frac{1}{x + 1}}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(-1 + \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x \frac{1}{x + 1}}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = -1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*log(x/(x + 1)))/((x/(x + 1))) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{-1 + \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x \frac{1}{x + 1}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x \frac{1}{x + 1}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{-1 + \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x \frac{1}{x + 1}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x \frac{1}{x + 1}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$-1 + \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x \frac{1}{x + 1}} = -1 - \frac{2 \left(1 - x\right) \log{\left(- \frac{x}{1 - x} \right)}}{x}$$
- No
$$-1 + \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x \frac{1}{x + 1}} = 1 + \frac{2 \left(1 - x\right) \log{\left(- \frac{x}{1 - x} \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$-1 + \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x \frac{1}{x + 1}} = -1 - \frac{2 \left(1 - x\right) \log{\left(- \frac{x}{1 - x} \right)}}{x}$$
- No
$$-1 + \frac{2 \log{\left(\frac{x}{x + 1} \right)}}{x \frac{1}{x + 1}} = 1 + \frac{2 \left(1 - x\right) \log{\left(- \frac{x}{1 - x} \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar